[논문 리뷰] A functional limit theorem for partial sums of dependent random variables with infinite variance

Bojan Basrak, Danijel Krizmanić외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 08.

Stochastic processes and financial applications인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 무한 분산을 가진 정 stationarity, 규칙적으로 변화하는 종속적인 랜덤 변수의 부분 합에 대한 기능적 극한정리(함수적 중심극한정리)를 수립한다. 고임계수 초과의 군집이 점 渐진적으로 독립적인 블록으로 분해되는 조건 하에서, 중심화된 부분 합 과정은 스코로호드 $M_1$ 위상에서 안정적인 Lévy 과정으로 약한 수렴을 보이며, 이때 Lévy 삼중항은 군집 효과로 인해 독립적인 경우와 다름을 보인다.

ABSTRACT

Under an appropriate regular variation condition, the affinely normalized partial sums of a sequence of independent and identically distributed random variables converges weakly to a non-Gaussian stable random variable. A functional version of this is known to be true as well, the limit process being a stable Levy process. The main result in the paper is that for a stationary, regularly varying sequence for which clusters of high-threshold excesses can be broken down into asymptotically independent blocks, the properly centered partial sum process still converges to a stable Levy process. Due to clustering, the Levy triple of the limit process can be different from the one in the independent case. The convergence takes place in the space of cadlag functions endowed with Skorohod's $M_1$ topology, the more usual $J_1$ topology being inappropriate as the partial sum processes may exhibit rapid successions of jumps within temporal clusters of large values, collapsing in the limit to a single jump. The result rests on a new limit theorem for point processes which is of independent interest. The theory is applied to moving average processes, squared GARCH(1,1) processes and stochastic volatility models.

연구 동기 및 목표

• 무한 분산을 가진 종속적인 과정에 대해 기능적 중심극한정리를 확장한다.
• 표준 $J_1$ 위상으로는 분석이 불가능한 고임계수 초과의 시간적 군집 문제를 다룬다.
• 큰 값의 군집이 발생하는 종속성 구조 하에서 부분 합 과정의 극한정리를 도출한다.
• 극한 안정 과정의 Lévy 삼중항을 특성화하여, 군집으로 인해 독립적인 경우와 다름을 보인다.
• 이론을 이동 평균, 제곱 GARCH(1,1), 그리고 확률적 변동성 모델과 같은 확률 과정에 적용한다.

제안 방법

• 정 stationarity, 규칙적으로 변화하는 수열에서 희귀 사건에 대한 점 과정 극한정리(점 과정 극한정리)를 활용한다.
• 군집 내 급격한 점프의 연속성으로 인해 한 점으로 합쳐지는 현상에 대응하기 위해 스코로호드의 $M_1$ 위상을 사용한다.
• 고임계수 초과의 군집을 모델링하기 위해 블록 기반 분해를 적용한다.
• 점 과정 극한의 강도 측도와 Lévy 삼중항을 특성화하여 극한 안정 Lévy 과정을 도출한다.
• 연속 매핑 정리(continuous mapping theorem)를 통해 부분 합 과정의 약한 수렴을 확립한다.
• 이론 프레임워크를 이동 평균 과정, 제곱 GARCH(1,1), 그리고 확률적 변동성 모델에 적용하여 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고임계수 초과의 군집이 무한 분산, 종속적인 설정에서 부분 합 과정의 약한 극한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 왜 $J_1$ 위상은 군집된 점프를 가진 부분 합 과정 모델링에 부적절하며, 수렴을 보장하기 위해 어떤 대체 위상이 필요한가?
• RQ3 점점 더 독립적인 군집을 가진 종속적인, 규칙적으로 변화하는 수열에 대해 기능적 극한정리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 군집으로 인해 극한 안정 과정의 Lévy 삼중항이 독립적인 경우와 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 이론적 프레임워크는 GARCH 및 확률적 변동성과 같은 실제 금융 시계열 모델에 얼마나 널리 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 정 stationarity, 규칙적으로 변화하는 수열에서 점점 더 독립적인 군집을 가진 부분 합 과정은 스코로호드 $M_1$ 위상에서 안정적인 Lévy 과정으로 약한 수렴을 보인다.
• 극한 안정 Lévy 과정의 Lévy 삼중항은 초과의 군집 구조로 인해 독립적인 경우와 다름을 보인다.
• $M_1$ 위상은 수렴을 보장하기 위해 필수적이며, $J_1$ 위상은 극한에서 급격한 점프의 연속성이 한 점으로 합쳐지는 현상으로 실패한다.
• 종속적이고 규칙적으로 변화하는 수열에서 희귀 사건에 대한 새로운 점 과정 극한정리가 수립되었으며, 이는 기능적 극한 결과의 핵심이 된다.
• 이론적 프레임워크는 이동 평균 과정, 제곱 GARCH(1,1) 과정, 그리고 중량 꼬리 분포를 가진 잡음 항을 가진 확률적 변동성 모델에 성공적으로 적용된다.