[논문 리뷰] A Galois connection between classical and intuitionistic logics

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 09.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 직관적 논리(QH)와 고전적 논리(QC)의 보존적 확장인 QHC를 소개한다. QHC는 QH와 QC의 리덴바움 순서집합 사이의 갈로아 연결을 통해 새로운 연결사 ?와 !를 도입함으로써 두 논리를 통합한다. 주요 기여는 콜모고로프의 문제 해석과 게오델의 증명 해석을 통합하는 형식 체계를 제공하는 것으로, QHC는 QH와 QC+(!) (QS4로 식별됨)로의 재구성(retraction)을 허용하며, !? 모달리티는 유형 이론의 괄호화 연산과 유사한 стрict lax 모달리티를 포착한다.

ABSTRACT

In a 1985 commentary to his collected works, Kolmogorov remarked that his 1932 paper written in hope that with time, the logic of solution of problems [i.e., intuitionistic logic] will become a permanent part of a [standard] course of logic. A unified logical apparatus was intended to be created, which would deal with objects of two types - propositions and problems. We construct such a formal system QHC, which is a conservative extension of both the intuitionistic predicate calculus QH and the classical predicate calculus QC. The only new connectives ? and ! of QHC induce a Galois connection (i.e., a pair of adjoint functors) between the Lindenbaum posets (i.e. the underlying posets of the Lindenbaum algebras) of QH and QC. Kolmogorov's double negation translation of propositions into problems extends to a retraction of QHC onto QH; whereas Goedel's provability translation of problems into modal propositions extends to a retraction of QHC onto its QC+(?!) fragment, identified with the modal logic QS4. The QH+(!?) fragment is an intuitionistic modal logic, whose modality !? is a strict lax modality in the sense of Aczel - and thus resembles the squash/bracket operation in intuitionistic type theories. The axioms of QHC attempt to give a fuller formalization (with respect to the axioms of intuitionistic logic) to the two best known contentual interpretations of intiuitionistic logic: Kolmogorov's problem interpretation (incorporating standard refinements by Heyting and Kreisel) and the proof interpretation by Orlov and Heyting (as clarified by Godel). While these two interpretations are often conflated, from the viewpoint of the axioms of QHC neither of them reduces to the other one, although they do overlap.

연구 동기 및 목표

• 직관적 논리와 고전적 술어논리의 보존적 확장을 가능하게 하여, 명제와 문제의 통합적 처리를 가능하게 하는 형식 체계를 구축하는 것.
• 문제 해결을 위한 논리로 콜모고로프의 비전을 실현하기 위해, 명제와 문제 사이의 이중성을 형식화하는 것.
• 직관적 논리의 두 기초적 해석—콜모고로프의 문제 해석과 증명 해석—사이의 관계를 명확히 하여, QHC 내에서 이들이 서로 다를 수는 있지만 겹치는 부분이 있음을 보여주는 것.
• QH와 QC의 리덴바움 순서집합 사이의 갈로아 연결을 유도하는 연결사 ?와 !의 형식적 기반을 제공함으로써, 이들의 대수적 구조를 통합하는 것.

제안 방법

• 직관적 논리(QH)와 고전적 논리(QC)의 리덴바움 순서집합 사이의 갈로아 연결을 형성하는 두 개의 새로운 연결사 ?와 !를 도입한다.
• QH와 QC의 보존적 확장인 QHC를 구성하여, QH와 QC의 모든 정리가 QHC 내부에서 그대로 유지되도록 보장한다.
• 콜모고로프의 이重부정 번역을 통해 QHC에서 QH로의 재구성을 정의하여 문제를 명제로 되돌리는 것을 가능하게 한다.
• 게오델의 증명 가능성 번역을 통해 QHC에서 QC+(?! ) 조각으로의 재구성을 정의하며, 이 조각은 모달 논리 QS4로 식별된다.
• Aczel의 관점에서 стрict lax 모달리티로 간주되는 !? 모달리티를 형식화하여, 이론적 유형 이론의 스퀘시/괄호화 연산과 일치시킨다.
• QHC를 충분히 정의함으로써 콜모고로프의 문제 해석(헤이팅과 크라이젤의 보완을 포함)과 증명 해석(오르로프와 헤이팅의 기여, 게오델의 명확화)을 모두 포괄한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 형식 체계가 직관적 술어논리와 고전적 술어논리를 통합하면서도 각각의 증명 이론적 및 모델 이론적 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 직관적 논리와 고전적 논리의 리덴바움 순서집합 사이의 정확한 대수적 관계는 무엇이며, 이를 수반하는 함자 쌍(adjoint functors)을 통해 형식화할 수 있는가?
• RQ3 콜모고로프의 문제 해석과 증명 해석이 하나의 논리 체계 내에서 명시적으로 구별되면서도 조화를 이룰 수 있는가?
• RQ4 고전적 논리와 직관적 논리에 새로운 연결사 ?와 !를 추가함으로써 보존적 확장이 이루어지며, 원래의 체계가 유지되는가?
• RQ5 ?와 ! 모달리티 및 그 결과로 생기는 !? 모달리티가 스쿼시 타입과 QS4와 같은 기존의 타입 이론 및 모달 논리의 구성요소와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• QHC는 직관적 술어논리(QH)와 고전적 술어논리(QC)의 보존적 확장이며, 양 체계의 모든 정리를 그대로 유지한다.
• 연결사 ?와 !는 QH와 QC의 리덴바움 순서집합 사이의 갈로아 연결을 유도하여, 명제와 문제 사이의 이중성을 형식화한다.
• 콜모고로프의 이중부정 번역은 QHC에서 QH로의 재구성으로 확장되며, 문제 해석이 일관된 하위계로 간주됨을 검증한다.
• 게오델의 증명 가능성 번역은 QHC에서 QC+(?! ) 조각으로의 재구성으로 확장되며, 이 조각은 모달 논리 QS4로 식별되어 고전적 모달 추론이 QHC 내부에 통합됨을 보여준다.
• QH+(!?) 조각 내의 !? 모달리티는 Aczel의 의미에서의 стрict lax 모달리티이며, 직관적 유형 이론의 스퀘시/괄호화 연산과 유사하다.
• 두 해석—콜모고로프의 문제 해석과 증명 해석—은 QHC 내에서 형식적으로 구별되지만, 겹치는 부분이 있어 서로 환원될 수 없다는 것이 입증된다.