[논문 리뷰] A Garside presentation for Artin-Tits groups of type $ ilde C_n$

François Digne|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아르틴-티츠 군의 $ ilde{C}_n$ 형식에 대해, $ ilde{A}_{2n-1}$ 형식의 아르틴-티츠 군에서 정역의 역할을 하는 군의 고정점군으로서 이를 실현하고, '생성된 군' 방법을 통해 가르시드 모노이드를 구성함으로써, $ ilde{C}_n$ 아르틴-티츠 군에 대한 가르시드 구조를 수립한다. 주요 결과는 이중 표현과 단어 문제의 해법이며, 코x터 원소의 거듭제곱의 중심화자를 다루는 데 응용된다.

ABSTRACT

We prove that an Artin-Tits group of type $ ilde C$ is the group of fractions of a Garside monoid, analogous to the known dual monoids associated with Artin-Tits groups of spherical type and obtained by the "generated group" method. This answers, in this particular case, a general question on Artin-Tits groups, gives a new presentation of an Artin-Tits group of type $ ilde C$, and has consequences for the word problem, the computation of some centralizers or the triviality of the center. A key point of the proof is to show that this group is a group of fixed points in an Artin-Tits group of type $ ilde A$ under an involution. Another important point is the study of the Hurwitz action of the usual braid group on the decomposition of a Coxeter element into a product of reflections.

연구 동기 및 목표

• 비-$\tilde{A}$ 형식의 아핀 타입에 대해 대부분의 경우 미해결된 문제로 남아 있는, 아핀 형식 $\tilde{C}_n$ 아르틴-티츠 군에 대한 가르시드 구조 수립.
• 가르시드 구조에서 유도된 정규형을 이용하여 $\tilde{C}_n$ 아르틴-티츠 군의 단어 문제 해결.
• $\tilde{C}_n$에서 코x터 원소의 거듭제곱의 중심화자 계산을 통해, 구형 및 $\tilde{A}$ 형식에서 알려진 결과를 확장.
• 기존에 알려진 구형 및 $\tilde{A}$ 형식과 유사한, $\tilde{C}_n$ 아르틴-티츠 군의 이중 표현 제공.
• $W(\tilde{C}_n)$에서 코x터 원소의 반사로의 최단 분해에 대한 투르비츠 작용의 전이성 확인.

제안 방법

• $\tilde{C}_n$ 형식의 아르틴-티츠 군을 $\tilde{A}_{2n-1}$ 형식의 아르틴-티츠 군에서 정역의 작용에 대한 고정점군으로 실현하고, $\tilde{A}$ 형식에서 알려진 가르시드 구조를 활용.
• $\tilde{A}_{2n-1}$ 내에서 정역의 작용을 유지하는 비가르시드 모노이드의 고정점에서 가르시드 모노이드를 구성.
• [2, 0.4]에서 제시된 '생성된 군' 방법을 사용하여, 고정점 모노이드가 잘 정의된 가르시드 원소를 가진 가르시드 모노이드임을 보임.
• 가르시드 원소를 유지하는 자동형에 의한 가르시드 모노이드의 고정점에 대한 이론을 적용하여, 가르시드 구조를 그대로 이어받음.
• 코x터 원소의 반사로의 분해에 대한 투르비츠 작용을 활용하여 전이성을 증명하고, 이는 모노이드 구성의 기초가 됨.
• 고정점 모노이드와 $C_{\text{gcd}(h,n)}$ 형식의 아르틴-티츠 군의 이중 기저 사이의 전단사 사상 수립을 통해 중심화자 계산.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-$\tilde{A}$ 아핀 형식에서 대부분의 경우 가르시드 구조가 존재하지 않음에도 불구하고, 아르틴-티츠 군의 $\tilde{C}_n$ 형식에 대해 이중 가르시드 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기타 코x터 군에서처럼, $W(\tilde{C}_n)$에서 코x터 원소의 반사로의 최단 분해 집합에 대한 투르비츠 작용은 전이적인가?
• RQ3 가르시드 원소를 유지하는 정역의 작용에 의한 $\tilde{A}_{2n-1}$ 형식의 가르시드 군 내 고정점 군은 가르시드 구조를 이어받는가?
• RQ4 아르틴-티츠 군의 $\tilde{C}_n$ 형식에서 코x터 원소의 거듭제곱의 중심화자의 구조는 어떠한가?
• RQ5 적절한 반사의 기저로부터 '생성된 군' 방법을 통해 $\tilde{C}_n$에 대한 가르시드 모노이드를 실현할 수 있는가?

주요 결과

• $\tilde{C}_n$ 형식의 아르틴-티츠 군은 가르시드 구조를 지니며, 이는 $\tilde{A}_{2n-1}$ 내에서 정역의 작용에 대한 고정점 모노이드로서 구성된 가르시드 모노이드이다.
• 코x터 원소의 반사로의 최단 분해 집합에 대한 투르비츠 작용은 전이적이며, 이는 핵심적인 기술적 결과이다.
• 구성된 가르시드 모노이드의 분수군은 $\tilde{C}_n$ 아르틴-티츠 군과 동형이며, 이는 이중 표현을 제공한다.
• ${\bf c}^h$의 중심화자 $G(\tilde{C}_n)$는 $C_{\text{gcd}(h,n)}$ 형식의 아르틴-티츠 군과 동형이며, 기존의 구형 형식 결과를 확장한다.
• 가르시드 모노이드 구조는 가르시드 원소와 나눗셈 격자에 기반한 정규형을 제공하며, $G(\tilde{C}_n)$의 단어 문제를 해결한다.
• 중심화자 계산은 ${\bf c}^h$의 중심화자가 ${\bf c}^{\text{gcd}(n,h)}$의 중심화자와 동일하다는 사실에 기반하며, 이는 $h$가 $n$을 나누는 경우로 문제를 단순화시킨다.