[논문 리뷰] A Gel'fand-type spectral radius formula and stability of linear constrained switching systems

Xiongping Dai|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 01.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전환 제약 조건이 있는 선형 스위치 시스템에 대해 에르고딕 이론을 사용하여 전환 신호의 제약 집합에 대해 제약 조건이 있는 경우의 연속 스펙트럼 반경과 일반화된 스펙트럼 반경이 같음을 증명하는 게르프란드 유형의 스펙트럼 반경 공식을 수립한다. 주요 기여는 제약 조건이 있는 비대수적 전환 신호 집합에 대해 절대 지수 안정성의 안정성 기준을 제시하는 것으로, 이는 비대수적, 제약 조건이 있는 전환 신호 집합에 대해 버거-왕 공식을 확장한 것이다.

ABSTRACT

Using ergodic theory, in this paper we present a Gel'fand-type spectral radius formula which states that the joint spectral radius is equal to the generalized spectral radius for a matrix multiplicative semigroup $\bS^+$ restricted to a subset that need not carry the algebraic structure of $\bS^+$. This generalizes the Berger-Wang formula. Using it as a tool, we study the absolute exponential stability of a linear switched system driven by a compact subshift of the one-sided Markov shift associated to $\bS$.

연구 동기 및 목표

• 스위치 제약 조건이 있는 선형 스위치 시스템에 대해 버거-왕 공식을 대수적 구조를 유지하지 않는 경우까지 일반화하기 위해.
• 일방향 마르코프 시프트의 불변이고 컴팩트한 부분집합에 제약된 행렬 세미군에 대해 게르프란드 유형의 스펙트럼 반경 공식을 수립하기 위해.
• 에르고딕 이론적 도구와 스펙트럼 반경의 동일성을 활용하여 제약 조건이 있는 선형 스위치 시스템의 절대 지수 안정성 문제를 조사하기 위해.
• 제약 조건 하에서 스펙트럼 반경과 연속 스펙트럼 반경의 동일성을 바탕으로 한 안정성에 대한 충분조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 행렬 가족과 관련된 일방향 마르코프 시프트의 컴팩트 서브시프트 위의 불변 측도를 분석하기 위해 에르고딕 이론을 사용한다.
• 폐쇄적이고 불변적인 부분집합 Λ에 제약된 전환 신호에 대해 연속 스펙트럼 반경과 일반화된 스펙트럼 반경을 정의한다.
• 하나의 하향적 에르고딕 정리(서브가환 에르고딕 정리)를 적용하여 일반적인 궤도를 따라 행렬 곱의 성장률을 스펙트럼 반경과 연결한다.
• 유사성 변환을 통한 블록 상삼각화 기법을 사용하여 문제를 더 낮은 차원의 하위계로 축소한다.
• 행렬 차원에 대한 귀납법과 곱의 유계성 가정을 사용하여 스펙트럼 반경이 1을 초과할 경우 모순을 도출한다.
• Λ 내의 주기적 단어의 구조와 불변 측도의 존재를 활용하여 제약 조건이 있는 행렬 곱의 스펙트럼 노름과 스펙트럼 반경을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허용 가능한 전환 신호 집합이 시프트 공간의 비대수적, 컴팩트한 불변 부분집합을 이루는 경우, 제약 조건이 있는 전환 시스템에서 연속 스펙트럼 반경과 일반화된 스펙트럼 반경의 동일성이 성립하는가?
• RQ2 제약 집합 Λ 내에서 주기적 전환 신호 집합이 밀도를 이룬다면, 주기적 단어로 제한했을 때도 스펙트럼 반경 공식이 여전히 성립하는가?
• RQ3 정리 B에서 일반화된 스펙트럼 반경이 1로 가정되지 않은 시스템으로 안정성 동치 관계를 확장할 수 있는가?
• RQ4 행렬 가족이 유계일 경우, 스펙트럼 반경 공식이 비콤팩트이지만 닫혀 있고 불변인 부분집합 Λ에 대해서도 여전히 유효한가?

주요 결과

• 제약 조건이 있는 선형 스위치 시스템의 연속 스펙트럼 반경은 전환 신호가 컴팩트하고 불변인 서브시프트에 제약될 경우 일반화된 스펙트럼 반경과 같으며, 이는 버거-왕 공식의 일반화이다.
• 컴팩트하고 불변인 제약 집합 Λ를 갖는 선형 스위치 시스템에 대해 절대 지수 안정성은 일반화된 스펙트럼 반경이 1보다 작을 때와 동치이다.
• 유사성 변환을 통한 블록 상삼각화 기법을 통해 문제를 더 낮은 차원의 하위계로 축소하며, 이 하위계의 스펙트럼 반경은 엄밀히 1 미만이 된다.
• 정리 B에서 ρ(S) = 1이라는 가정은 (c) ⇒ (a)의 함의관계에 대해 충분하지만 필수적인 것은 아님을 보여주어, 이 결과가 그 조건 없이도 성립할 수 있음을 시사한다.
• Λ 위의 불변 측도 존재는 스펙트럼 반경과 행렬 노름의 점근적 성장률을 동일시하는 데 에르고딕 이론적 도구를 사용할 수 있도록 한다.
• 시스템이 곱의 유계성이 없을 경우, 스펙트럼 반경 동일성이 실패함을 보여주는 반례를 제시한다.