[논문 리뷰] A general algorithm for manipulating non-linear and linear entanglement witnesses by using exact convex optimization

M. A. Jafarizadeh, K. Aghayar외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 28.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 N-파트클 시스템에서 선형 및 비선형 얽힘 감지기(EW)를 구성하기 위한 일반적인 볼록 최적화 프레임워크를 제시한다. 분리 가능한 상태를 탍가역 영역(FR)으로 매핑함으로써, 다각형 형태의 FR에서는 선형 EW를 유도하고, 곡선 형태의 FR에서는 선형 EW들의 집합의 외접선을 통해 비선형 EW를 유도함으로써, W-상태나 GHZ-W 상태와 같은 복잡한 양자 상태에서의 얽힘 감지를 체계적으로 가능하게 한다.

ABSTRACT

A generic algorithm is developed to reduce the problem of obtaining linear and nonlinear entanglement witnesses of a given quantum system, to convex optimization problem. This approach is completely general and can be applied for the entanglement detection of any N-partite quantum system. For this purpose, a map from convex space of separable density matrices to a convex region called feasible region is defined, where by using exact convex optimization method, the linear entanglement witnesses can be obtained from polygonal shape feasible regions, while for curved shape feasible regions, envelope of the family of linear entanglement witnesses can be considered as nonlinear entanglement witnesses. This method proposes a new methodological framework within which most of previous EWs can be studied. To conclude and in order to demonstrate the capability of the proposed approach, besides providing some nonlinear witnesses for entanglement detection of density matrices in unextendible product bases, W-states, and GHZ with W-states, some further examples of three qubits systems and their classification and entanglement detection are included. Also it is explained how one can manipulate most of the non-decomposable linear and nonlinear three qubits entanglement witnesses appearing in some of the papers published by us and other authors, by the method proposed in this paper. Keywords: non-linear and linear entanglement witnesses, convex optimization. PACS number(s): 03.67.Mn, 03.65.Ud

연구 동기 및 목표

• 모든 N-파트클 양자 시스템에 적용 가능한 얽힘 감지기(EW)를 생성하기 위한 보편 알고리즘을 개발하는 것.
• 기존의 선형 EW가 실패할 수 있는, 비분해 가능하거나 매우 얽힌 상태와 같은 경우에 얽힘 감지를 해결하는 데 도전하는 것.
• 얽힘 감지 문제를 볼록 최적화 문제로 재정의함으로써 기존의 EW 구성 방법들을 통합하고 일반화하는 것.
• W-상태, GHZ-W 상태, 그리고 3-qubit 시스템에 대한 비선형 EW의 명시적 구성 사례를 통해 이 방법의 능력을 입증하는 것.
• 볼록 최적화 원리를 활용하여 비분해 가능한 선형 및 비선형 EW를 체계적으로 다루고 분류하는 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 분리 가능한 밀도 행렬 집합을 추적 맵 $ \mathrm{Tr}(W\rho_{\text{sep}}) $에 의해 사상함으로써 타당 영역(FR)을 정의하며, 분리 가능한 상태의 볼록 구조로 인해 FR가 볼록임을 보장한다.
• 다각형 형태의 FR에 대해서는 정확한 볼록 최적화를 적용하여 선형 얽힘 감지기와 대응하는 꼭짓점을 식별한다.
• 곡선 형태의 FR에 대해서는 볼록 최적화를 통해 유도된 선형 EW들의 집합의 외접선을 계산하여 비선형 얽힘 감지기를 정의한다.
• 라그랑주 이중성과 카루시-쿤-터커(Karush-Kuhn-Tucker, KKT) 조건을 활용하여 볼록 최적화 문제를 해결함으로써, 강한 이중성 조건 하에서 전역 최적해와 영이중격차를 보장한다.
• 해석적 해가 불가능한 경우 내부점 방법을 활용하여 수치적 해를 구현함으로써 볼록 최적화 알고리즘의 효율성을 활용한다.
• 특정 목표 상태, 예를 들어 확장 불가능한 곱 상태 기저나 W-상태에 속하는 상태들에 대해 추가 제약 조건을 적용하여 볼록 최적화를 재실행함으로써 EW를 정밀화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 임의의 N-파트클 양자 시스템에 대해 선형 및 비선형 얽힘 감지기를 모두 생성할 수 있는 보편 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 타당 영역(FR)이 얽힘 감지 문제를 볼록 최적화 프레임워크로 변환하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 비선형 얽힘 감지기는 어떻게 선형 EW들의 집합으로부터 외접선 구성 기법을 통해 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 3-qubit 시스템에서 비분해 가능한 얽힘을 감지할 수 있는가, 예를 들어 W-상태나 GHZ-W 상태에서?
• RQ5 기존 문헌에서 보고된 선형 및 비선형 EW들은 이 통합된 볼록 최적화 접근법을 통해 얼마나 널리 재유도되고 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 곡선 형태의 타당 영역에서 유도된 선형 EW들의 외접선을 통해, 확장 불가능한 곱 상태 기저, W-상태, GHZ-W 상태에 속하는 상태들에 대한 비선형 얽힘 감지기를 성공적으로 구성하였다.
• 3-qubit 시스템에서는 다양한 상태에서의 얽힘 분류 및 감지를 가능하게 하였으며, 비분해 가능한 EW를 갖는 상태들에 대해서도 적용 가능하였다.
• 주어진 시스템에 대한 타당 영역는 분리 가능한 밀도 행렬 집합이 선형 추적 맵에 의해 사상됨에 따라 구성상 볼록함을 보장한다.
• 이 방법은 볼록 최적화 공식화에서 강한 이중성이 성립함을 증명하였으며, KKT 조건이 전역 최적해를 보장하고 이중격차가 0임을 보장한다.
• 이전의 EW 구성 방법들을 일반화하고 통합함으로써, 비분해 가능한 선형 및 비선형 EW를 체계적으로 다룰 수 있는 방법을 제공한다.
• 해석적 해가 불가능한 경우 내부점 방법을 통한 수치적 해법이 타당하며, 이는 복잡한 양자 시스템 전반에 걸쳐 광범위한 적용 가능성을 보장한다.