[논문 리뷰] A general approach to approximation theory of operator semigroups

A. M. Gomilko, Sylwia Kosowicz외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 21.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서의 $C_0$-반군을 유계 완전 단조 함수의 생성자에 대해 근사하기 위한 통합된 기능적 미적분 프레임워크를 개발한다. 베르슈타인 함수와 힐레-필리프스 기능적 미적분을 활용하여, 요시다의 공식과 오일러의 공식과 같은 기존의 근사 공식을 일반화하며, 특정 경우에서는 날카운 상수를 포함한 최적 수렴 속도를 제공하고, 이와 같은 일반성에서 처음으로 명시적인 속도를 갖는 새로운 이阶 근사 공식을 도입한다.

ABSTRACT

We develop a general, functional calculus approach to approximation of $C_0$-semigroups on Banach spaces by bounded completely monotone functions of their generators. The approach comprises most of well-known approximation formulas, yields optimal convergence rates, and sometimes even leads to sharp constants. In an important particular case when semigroups are holomorphic, we are able to significantly improve our results for general semigroups. Moreover, we present several second order approximation formulas with rates, which in such a general form appear in the literature for the first time.

연구 동기 및 목표

• 다양한 근사 공식을 하나의 기능적 미적분 프레임워크로 통합하는 것.
• 반군 근사의 최적 수렴 속도를 제공하며, 특정 경우에서는 날카운 상수를 포함하는 것.
• 해석적 반군 이론으로 확장하여 상당히 향상된 수렴 추정치를 도출하는 것.
• 명시적인 속도를 갖는 이계 근사 공식을 도입하고 분석하는 것—문헌에서 이와 같은 일반성에서의 새로운 기여.
• [32]의 결과를 더 넓은 생성 함수의 클래스를 포함시키고 정량적 오차 경계를 수립함으로써 일반화하는 것.

제안 방법

• 생성 함수 $\varphi$가 $\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=1$, $|\varphi''(0)|<\infty$ 를 만족하는 베르슈타인 함수일 때, 근사 가족을 $e^{-n\varphi(tA/n)}$ 형태로 표현하기 위해 힐레-필리프스 기능적 미적분을 활용한다.
• 수렴 속도를 유도하기 위해 $n \to \infty$ 일 때의 차이 $e^{-tz} - e^{-nt\varphi(z/n)}$ 의 渐近 분석을 적용한다.
• 감마 함수와 라플라스 변환을 포함하는 적분 표현을 사용하여 오차 항을 $c_\alpha[g_n]$ 과 $R_\alpha(n)$ 을 통해 추정한다.
• 감마 함수 $\Gamma(n)/\Gamma(n+\beta)$ 의 渐近 전개를 활용하여 $O(n^{-1})$ 과 $O(n^{-2})$ 오차 항을 도출한다.
• 잔여항을 $R_{0,\alpha}(n)$ 과 $R_{1,\alpha}(n)$ 으로 분해하며, $R_{0,\alpha}(n)$ 은 베타 함수 항등식을 통해 처리한다.
• 함수 $m(z) = (1-g(z))/z$ 의 성질을 이용하여 $|1 - f_\alpha(z)|$ 와 $|f'_\alpha(z)|$ 의 경계를 수립함으로써 두 번째 잔여항의 오차를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적으로 알려진 근사 공식들—예를 들어 요시다의 공식과 오일러의 공식—을 하나의 기능적 미적분 프레임워크로 통합할 수 있는가?
• RQ2 생성자의 유계 완전 단조 함수로 생성되는 반군 근사에 대해 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 반군이 해석적이고 부문적으로 유계일 경우 일반적인 $C_0$-경우에 비해 수렴 속도는 어떻게 향상되는가?
• RQ4 이 접근법을 통해 $C_0$-반군에 대해 일반적으로 이계 근사 공식과 명시적인 오차 경계를 유도할 수 있는가?
• RQ5 생성 함수 $g$ 의 영점에서의 도함수—특히 $g''(0)$, $g'''(0)$, $g^{(4)}(0)$ — 는 수렴 속도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일반적인 $C_0$-반군에 대해, $x \in \text{dom}(A^\alpha)$, $\alpha \in (0,2]$ 에 대해 $\|e^{-ntA(n+A)^{-1}}x - e^{-tA}x\| \leq 16M(t/n)^{\alpha/2}\|A^\alpha x\|$ 를 확립한다. 여기서 $M = \sup_{t \geq 0}\|e^{-tA}\|$ 이다.
• 해석적 반군의 경우, 속도는 $\|e^{-ntA(n+A)^{-1}}x - e^{-tA}x\| \leq C(nt^{1-\alpha})^{-1}\|A^\alpha x\|$ 로 향상되며, $\alpha \in [0,1]$ 이고 절대 상수 $C > 0$ 이다. 이는 이전 추정치를 상당히 개선한다.
• 이차 근사 공식을 유도하며, 경계는 $\leq \frac{5(g^{(4)}(0)-1)}{6n^2}$ 이며, 더 정밀하게 $\leq \frac{g''(0)-1}{n^2}$ 로 개선되어 $O(n^{-2})$ 속도를 확립한다.
• 생성 함수 $g(z) = \log(1+z)$ 는 오일러 근사에 해당하며, 이 방법은 명시적인 상수를 포함한 $O(n^{-2})$ 수렴 속도를 도출한다.
• 분석 결과, 수렴 속도는 생성 함수 $g$ 의 영점에서의 두 번째 및 네 번째 도함수에 의해 결정되며, 오차 경계에서 핵심 계수로 $g''(0)-1$ 과 $g^{(4)}(0)-1$ 이 나타난다.
• 논문은 잔여항 $R_{1,\alpha}(n)$ 이 $|R_{1,\alpha}(n)| \leq \frac{C(g)\alpha}{n^{3-\alpha}}$ 를 만족함을 증명하며, 이는 이계 경우의 $O(n^{-2})$ 속도 확립에 필수적이다.