[논문 리뷰] A General Asymptotic Implied Volatility for Stochastic Volatility Models

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|2005. 04. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아벨 접속을 갖는 리만 다양체 위에서 열 핵심 전개를 사용하여 확률적 볼라티리티 모델의 일반적인 점근적 공식을 개발한다. 이는 SABR 모델에 대한 Hagan 등이 제시한 공식을 개선한 일계 점근적 음성 볼라티리티를 도출하며, β=0 및 β=1의 경우에 정확한 해를 제공하고, 파오카레 쌍곡평면과 λ-SABR 모델 간의 기하학적 연결을 수립한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive a general asymptotic implied volatility at the first-order for any stochastic volatility model using the heat kernel expansion on a Riemann manifold endowed with an Abelian connection. This formula is particularly useful for the calibration procedure. As an application, we obtain an asymptotic smile for a SABR model with a mean-reversion term, called lambda-SABR, corresponding in our geometric framework to the Poincaré hyperbolic plane. When the lambda-SABR model degenerates into the SABR-model, we show that our asymptotic implied volatility is a better approximation than the classical Hagan-al expression . Furthermore, in order to show the strength of this geometric framework, we give an exact solution of the SABR model with beta=0 or 1. In a next paper, we will show how our method can be applied in other contexts such as the derivation of an asymptotic implied volatility for a Libor market model with a stochastic volatility.

연구 동기 및 목표

• 임의의 확률적 볼라티리티 모델에 적용 가능한 일반적인 일계 점근적 음성 볼라티리티 공식을 유도하는 것.
• 리만 다양체와 아벨 접속을 기반으로 한 기하학적 방법을 통해 확률적 볼라티리티 모델의 캘리브레이션을 통합하는 것.
• 클래식한 Hagan-al 점근적 공식을 개선하기 위해 SABR 모델에 평균 회귀 항(λ-SABR)을 통합하는 것.
• SABR 모델에서 β=0 또는 β=1일 때 조건부 확률에 대한 정확한 해를 제공하는 것.
• 파오카레 쌍곡평면과 λ-SABR 모델 간의 기하학적 대응 관계를 수립하는 것.

제안 방법

• 조건부 밀도 함수의 백워드 코모고로프 방정식에 대한 단기 점근적 해를 도출하기 위해 리만 다양체 위에서의 열 핵심 전개를 활용한다.
• 지속적 볼라티리티 함수를 복합형 제약을 통한 포크너-플랭크 방정식의 공변 표현을 통해 평균으로 표현한다.
• 지속적 볼라티리티 함수의 일계 점근적 전개를 다양체의 기하학적 구조에 따라 삼각법적 방법을 적용하여 도출한다.
• 드리프트 과정을 모델링하기 위해 선다발 위에 아벨 접속을 도입하여 음성 볼라티리티 전개의 일계 보정에 기여한다.
• 시간에 따라 변화하는 실수 직선 위에서 열 핵심 방법을 적용하여 국소 볼라티리티와 음성 볼라티리티 간의 일대일 점근적 대응을 수립한다.
• 다중 변수 적분에 대한 라플라스 방법을 적용하여 옵션 가격 산정 적분의 주요 항 및 일계 점근적 해를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 확률적 볼라티리티 모델에 대해 일반적인 일계 점근적 음성 볼라티리티 공식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 음성 볼라티리티 전개의 영차항 및 일차항에 대한 기하학적 해석은 무엇인가?
• RQ3 SABR 모델에 평균 회귀 파라미터(λ)를 포함시키면 클래식한 SABR 모델과 비교해 점근적 스마일에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 SABR 모델에서 β=0 또는 β=1일 때 조건부 확률에 대한 정확한 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 아벨 접속은 음성 볼라티리티의 드리프트에 의존하는 일차 보정을 포착하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 영차 점근적 음성 볼라티리티는 리만 다양체 위의 지오데식 거리에 의해 결정되며, 이는 기하학적 구조와 음성 볼라티리티 스마일 간의 연결을 수립한다.
• 음성 볼라티리티 전개의 일차 보정은 지속적 볼라티리티 모델의 드리프트 과정을 코딩하는 아벨 접속에 의존한다.
• λ-SABR 모델의 경우 유도된 점근적 음성 볼라티리티는 고전적인 Hagan-al 공식보다 더 나은 근사치를 제공하며, 특히 올바른 스케일 행동을 잘 포착한다.
• SABR 모델에서 β=0 또는 β=1일 때 조건부 확률에 대한 정확한 해가 도출되었으며, 이는 기하학적 프레임워크의 일관성을 확인한다.
• 기하학적 프레임워크는 λ-SABR 모델이 파오카레 쌍곡평면에 대응함을 수립하며, 이 모델에 대한 엄밀한 미분기하학적 해석을 제공한다.
• 이 방법은 향후 작업에서 언급된 바와 같이, 스토카스틱 볼라티리티를 갖는 리보르 마켓 모델과 같은 다른 모델에 대해서도 점근적 음성 볼라티리티를 체계적으로 유도할 수 있다.