[논문 리뷰] A general continuous-state nonlinear branching process

Pei-Sen Li, Yang Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 인구수에 의존하는 분열률과 경쟁을 고려한 확률적 미분방정식으로 지배되는 일반적인 연속상태 비선형 분열과정을 제안하며, 마팅게일 기법을 사용하여 멸종, 폭발, 무한대에서의 회복에 대한 정밀한 조건을 확립한다. 주요 기여는 포터-리아푸노프 기준과 분열 함수가 거듭제곱 법칙일 경우 명시적인 결과를 도출하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we consider the unique nonnegative solution to the following generalized version of the stochastic differential equation for a continuous-state branching process. \beqnn X_t \ar=\ar x+\int_0^tγ_0(X_s)\dd s+\int_0^t\int_0^{γ_1(X_{s-})} W(\dd s,\dd u)\cr \ar\ar\qquad+\int_0^t\int_{0}^\infty\int_0^{γ_2(X_{s-})} z ilde{N}(\dd s, \dd z, \dd u), \eeqnn where $W(\dd t,\dd u) $ and $ ilde{N}(\dd s, \dd z, \dd u)$ denote a Gaussian white noise and an independent compensated spectrally positive Poisson random measure, respectively, and $γ_0,γ_1$ and $γ_2$ are functions on $\mbb{R}_+$ with both $γ_1$ and $γ_2$ taking nonnegative values. Intuitively, this process can be identified as a continuous-state branching process with population-size-dependent branching rates and with competition. Using martingale techniques we find rather sharp conditions on extinction, explosion and coming down from infinity behaviors of the process. Some Foster-Lyapunov type criteria are also developed for such a process. More explicit results are obtained when $γ_i, i=0, 1, 2$ are power functions.

연구 동기 및 목표

• 비선형이며 인구수에 의존하는 분열 메커니즘과 경쟁을 고려한 연속상태 분열과정에 대한 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이러한 과정의 장기적 행동—멸종, 폭발, 무한대에서의 회복—을 확률적 분석을 통해 분석하기 위해.
• 마팅게일 기법과 포터-리아푸노프 기준을 사용하여 이러한 행동에 대한 충분한 조건을 도출하기 위해.
• 분열 함수가 거듭제곱 함수일 경우 명시적인 결과를 제공하여 과정의 역학을 정량적으로 분석할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 가우시안 화이트 노이즈와 보정된 스펙트르가 양성인 포아송 랜덤 측도를 사용하여 과정의 확률적 미분방정식(SDE)을 수립한다.
• 현재 인구수에 따라 변화하는 드리프트, 확산, 점프 성분을 포함한 SDE의 경로에 유일한 음이 아닌 해로서 과정을 정의한다.
• 특히 생성자와 국소시간 분석을 활용하여 표본 경로 행동을 분석하기 위해 마팅게일 기법을 적용한다.
• 적절한 리아푸노프 함수로 $ x^{1-a} $와 로그 항을 포함하여, 재귀성과 에르고딕성을 위한 포터-리아푸노프 형식의 기준을 유도한다.
• 대응과 강한 마르코프 성질을 활용하여 큰 간격에서의 탈출 확률을 추정하고 하위 수준에 도달하는 데 소요되는 시간을 통제한다.
• 극한 영역에서의 행동을 분석하기 위해 로그 척도와 거듭제곱 척도 변환을 활용하며, 특히 무한대에서의 회복 행동을 중심으로 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경쟁과 인구수에 의존하는 분열률을 갖는 비선형 연속상태 분열과정이 거의 확실히 멸종하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 과정이 유한 시간 내에 폭발하기 위한 필수 및 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ3 과정이 무한대에서부터 유한한 값으로 회복되는 조건, 즉 무한대에서 시작하여 유한한 시간 내에 유한한 값을 도달하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 분열률 함수 $ \gamma_0, \gamma_1, \gamma_2 $ 의 함수적 형태가 과정의 장기적 행동에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 이러한 비선형 과정에 대해 재귀성 또는 에르고딕성을 보장하기 위해 포터-리아푸노프 기준을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 분열률 함수가 $ \gamma_2(x) \sim x^\alpha $ 를 만족하고 $ \alpha > 1 $ 이며, 생성자 내 로그 항의 성장률이 제어되는 경우 과정은 거의 확실히 무한대에서 회복된다.
• 분열 함수가 거듭제곱 법칙 $ \gamma_i(x) = c_i x^{\alpha_i} $ 인 경우, 멸종, 폭발, 무한대에서의 회복에 대한 명시적인 조건을 유도한다.
• 드리프트 및 점프 성분이 $ \psi(\lambda) $ 를 포함한 적절한 적분 테스트를 만족할 경우 과정은 거의 확실히 멸종한다. 이는 고전적 그레이 조건의 일반화이다.
• 드리프트 및 확산 성분이 너무 빠르게 증가할 경우 폭발이 발생하며, 특히 $ \gamma_0(x) $ 와 $ \gamma_1(x) $ 가 $ x $ 에 대해 선형을 초월하여 증가하고, 일정한 적분 조건을 만족할 경우에 해당한다.
• 리아푸노프 함수 $ V(x) = x^{1-a} $ 를 사용하여 포터-리아푸노프 기준을 확립하며, $ a \in (0,1) $ 이고, 생성자 조건 $ \mathcal{L}V(x) \leq -c $ 가 큰 $ x $ 에서 성립하면 재귀성이 보장된다.
• 큰 초기값을 가진 경우 과정은 고정된 수준 $ b > 0 $ 에 유한 시간 내에 거의 확실히 도달하며, 도달 시간은 $ (1+\delta)^r (\ln x)^{1-r} $ 으로 유계이며, $ r > 1 $ 일 경우 유한하다.