[논문 리뷰] A General Framework for Computing the Nucleolus Via Dynamic Programming

Jochen Koenemann, Justin Toth|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 21.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 협력 게임에서 핵을 효율적으로 계산하기 위한 일반적인 동적 프로그래밍 프레임워크를 제시한다. 최소 초과 코али션 문제를 정수 동적 프로그래밍으로 해결할 수 있다면, 핵은 다항 시간 내에 계산 가능하다는 것을 보여준다. 주요 기여는 트리너비가 유계인 그래프에서 b-매칭 게임의 핵을 다항 시간 내에 계산할 수 있는 알고리즘을 제시한 것으로, 이는 이전의 가중 투표 게임에 대한 결과를 초과하는 것이다.

ABSTRACT

This paper defines a general class of cooperative games for which the nucleolus is efficiently computable. This class includes new members for which the complexity of computing their nucleolus was not previously known. We show that when the minimum excess coalition problem of a cooperative game can be formulated as a hypergraph dynamic program its nucleolus is efficiently computable. This gives a general technique for designing efficient algorithms for computing the nucleolus of a cooperative game. This technique is inspired by a recent result of Pashkovich (2018) on weighted voting games. However our technique significantly extends beyond the capabilities of previous work. We demonstrate this by applying it to give an algorithm for computing the nucleolus of b-matching games in polynomial time on graphs of bounded treewidth.

연구 동기 및 목표

• 협력 게임에서 핵을 계산하기 위한 일반적 프레임워크를 동적 프로그래밍을 사용하여 개발한다.
• 이전의 가중 투표 게임에 대한 결과를 더 넓은 조합 최적화 게임의 범주로 확장한다.
• 핵이 동적 프로그래밍을 통해 동치 조건을 포함하여 효율적으로 계산 가능한 조건을 설정한다.
• 프레임워크가 트리너비가 유계인 그래프에서 b-매칭 게임에 적용 가능한지를 보여준다.
• 방향 비순환 초그래프 기반 동적 프로그래밍을 정형화하여 동치 조건을 포함한 최적화를 지원한다.

제안 방법

• 가능한 해와 제약 조건을 모델링하기 위해 방향 비순환 초그래프를 사용하여 동적 프로그래밍을 정형화한다.
• 복잡도가 다항 증가하는 데 그치도록, 동적 프로그래밍에 동치 조건을 통합하는 기법을 제안한다.
• 방향 비순환 초그래프 기반 동적 프로그래밍에 동치 조건을 추가하면 복잡도가 최대 다항 인자만큼 증가함을 증명한다.
• 핵 계산 문제를 동적 프로그래밍을 통해 최소 초과 코알리션 문제로 환원한다.
• 트리너비가 유계인 그래프에서 b-매칭 게임의 최소 초과 코알리션에 대한 동적 프로그래밍 설정을 구성한다.
• 일반적 프레임워크를 적용하여 이러한 게임의 핵이 다항 시간 내에 계산 가능하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 협력 게임의 핵이 언제 다항 시간 내에 계산 가능한가?
• RQ2 가중 투표 게임에 대한 동적 프로그래밍 접근법을 다른 협력 게임의 범주로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 협력 게임의 해법 개념 맥락에서 동적 프로그래밍에 동치 조건을 추가할 경우 계산 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 트리너비가 유계인 그래프에서 b-매칭 게임의 핵이 다항 시간 내에 계산 가능한가?
• RQ5 초그래프 기반 동적 프로그래밍 모델이 b-매칭 게임와 유사한 복잡한 제약 조건을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 최소 초과 코알리션 문제를 정수 동적 프로그래밍으로 해결할 수 있다면, 어떤 협력 게임의 핵도 다항 시간 내에 계산 가능하다.
• 방향 비순환 초그래프 기반 동적 프로그래밍에 동치 조건을 추가하면 계산 복잡도가 최대 다항 인자만큼 증가한다.
• 트리너비가 유계인 그래프에서 b-매칭 게임의 핵은 다항 시간 내에 계산 가능하다.
• 이 프레임워크는 파슈코비치의 이전 작업을 일반화하고 상당히 확장한다.
• 초그래프 기반 동적 프로그래밍과 동치 조건을 포함하여 b-매칭 게임의 최소 초과 코알리션에 대한 동적 프로그래밍 설정을 성공적으로 구성하였다.
• 이 프레임워크는 트리너비와 같은 구조적 특성에 기반하여 계산 가능성이 있는 협력 게임의 클래스를 체계적으로 식별하는 새로운 방법을 제공한다.