[논문 리뷰] A general framework for secondary constructions of bent and plateaued functions

Samir Hodžić, Enes Pašalić외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 19.

Coding theory and cryptography참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복합 표현을 사용하여 백트 및 플레이티오드 부울 함수의 2차적 구성에 대한 일반적인 프레임워크를 제안한다—즉, 부울 함수와 벡터형 함수의 복합으로 함수를 표현하는 방식이다. 이 구조를 활용함으로써 저자들은 간접 합과 로타우스의 구성과 같은 기존 방법들을 통합하고 확장하며, 초기 함수에 대한 제한적인 조건이 없는 새로운 효율적인 구성 방법을 가능하게 하고, 분야 내 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this work, we employ the concept of {\em composite representation} of Boolean functions, which represents an arbitrary Boolean function as a composition of one Boolean function and one vectorial function, for the purpose of specifying new secondary constructions of bent/plateaued functions. This representation gives a better understanding of the existing secondary constructions and it also allows us to provide a general construction framework of these objects. This framework essentially gives rise to an {\em infinite number} of possibilities to specify such secondary construction methods (with some induced sufficient conditions imposed on initial functions) and in particular we solve several open problems in this context. We provide several explicit methods for specifying new classes of bent/plateaued functions and demonstrate through examples that the imposed initial conditions can be easily satisfied. Our approach is especially efficient when defining new bent/plateaued functions on larger variable spaces than initial functions. For instance, it is shown that the indirect sum methods and Rothaus' construction are just special cases of this general framework and some explicit extensions of these methods are given. In particular, similarly to the basic indirect sum method of Carlet, we show that it is possible to derive (many) secondary constructions of bent functions without any additional condition on initial functions apart from the requirement that these are bent functions. In another direction, a few construction methods that generalize the secondary constructions which do not extend the variable space of the employed initial functions are also proposed.

연구 동기 및 목표

• 벤트 및 플레이티오드 함수의 2차적 구성에 대한 통합적이고 일반적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 특히 초기 함수에 대한 제한적인 조건이 없는 2차적 구성과 관련된 열린 문제를 해결하는 것.
• 기존의 구성 방법들인 간접 합과 로타우스의 방법이 제안된 프레임워크의 특수 케이스임을 보여주는 것.
• 유연하고 쉽게 만족할 수 있는 조건으로, 동일하거나 더 큰 변수 공간에서 벤트/플레이티오드 함수를 구성할 수 있도록 하는 것.
• 이러한 구성 방법이 알려진 주요 클래스에 속하지 않는 함수를 생성할 수 있는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 부울 함수를 부울 함수 f와 벡터형 함수 H의 복합으로 표현함—즉, f(H(x))—를 통해 좌표 함수의 유연한 조작을 가능하게 하는 것.
• 복합 표현을 이용해 복합 함수가 여전히 벤트 또는 플레이티오드임을 보장하는 충분조건을 도출하는 것.
• 웨일-하다마드 변환(WHT) 분석을 적용하여 복합 함수의 스펙트럼 행동을 특성화하는 것.
• 부공간 분해와 쌍대성(예: U⊥)을 활용하여 웨일 스펙트럼을 제어하고, 플레이티오드 또는 벤트 성질을 보장하는 것.
• 여러 플레이티오드 함수를 그들의 웨일 스펙트럼의 직접 합을 통해 조합하는 일반적인 방법(정리 5.3)을 제안하여 새로운 플레이티오드 또는 벤트 함수를 생성하는 것.
• 아핀 부분공간의 구조와 스펙트럼 분할을 활용하여 비영인 웨일 계수와 원하는 진폭 값을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 벤트 및 플레이티오드 함수의 2차적 구성 방법들을 통합하는 일반 프레임워크를 수립할 수 있는가?
• RQ2 초기 벤트 또는 플레이티오드 함수에 대한 제한적인 조건을 부과하지 않고 2차적 구성 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ3 간접 합과 로타우스의 방법과 같은 잘 알려진 구성 방법들이 더 넓은 통합 프레임워크의 특수 케이스인가?
• RQ4 기존 주요 클래스에 등가가 아닌 새로운 종류의 벤트 함수를 생성할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 최소한의 제약 조건으로 동일하거나 더 큰 변수 공간에서 효율적으로 벤트/플레이티오드 함수를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 복합 표현 프레임워크는 간접 합과 로타우스의 구성과 같은 기존 구성 방법들을 특수 케이스로 일반화하고 포함한다.
• 이 프레임워크는 초기 함수가 벤트이기만 하면 추가적인 제약 조건 없이 벤트 함수를 구성할 수 있도록 하여, 2차적 구성 분야에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 구체적인 구성 방법이 제시되며, 예시를 통해 필요한 초기 조건(예: 웨일 스펙트럼과 부분공간에 대한 조건)이 쉽게 만족됨을 보여준다.
• 이 방법은 부분공간 분해를 통한 스펙트럼 제어를 통해 더 큰 변수 공간에서 효율적으로 새로운 벤트 또는 플레이티오드 함수를 생성할 수 있다.
• 일반적인 방법(정리 5.3)이 제안되며, 이는 r개의 플레이티오드 함수를 그들의 웨일 스펙트럼의 직접 합을 통해 조합하여 t-플레이티오드 함수를 생성한다. 여기서 t=0일 경우 벤트성질을 가짐을 의미한다.
• 정의된 충분조건 하에서 좌표 함수와 외부 함수의 선택을 다양화함으로써 무한히 많은 2차적 구성 방법을 체계적으로 생성할 수 있는 방법을 제공한다.