[논문 리뷰] A General Fredholm Theory III: Fredholm Functors and Polyfolds

Helmut Hofer, Kris Wysocki외 1명|ArXiv.org|2008. 10. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 프리드홀 이론을 다형체 위에서 일반화하기 위해 프리드홀 함자와 에프-군oids를 사용한다. 이는 고전적 프리드홀 이론을 무한차원 및 특이 공간으로 확장한다. sc-미분 형식을 통한 가중치가 부여된 분기 부분다양체의 정의 및 적분을 위한 프레임워크를 제안함으로써, 전이성 장애가 존재하는 상황에서도 심플렉틱 필드 이론과 그로모프-위튼 이론에서의 불변량을 구축할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We describe a very general (nonlinear) Fredholm theory for a new class of ambient spaces, called polyfolds. The basic feature of these new spaces is that in general they may have locally varying dimensions. These new spaces are needed for a functional analytic treatment of nonlinear problems involving analytic limiting behavior. This theory is applicable to Gromov-Witten and Floer Theory as well as Symplectic Field Theory.

연구 동기 및 목표

• 새로운 범주론적 프레임워크를 사용하여 프리드홀 이론을 무한차원 및 특이 공간으로 일반화하기.
• M-다형체를 기반으로 한 에프-군oids의 모리타-유사성 클래스를 갖춘 두 번째 가산성과 분리가 가능한 공간으로 다형체를 정의하기.
• 국소 대칭성과 호환되는 프리드홀 함자를 개발하여 다중값 함수를 통한 페르투르베이션 기법을 가능하게 하기.
• 교차하는 해로부터 유도되는 가중치가 부여된 분기 부분다양체 위에서 sc-미분 형식에 대한 잘 정의된 적분 이론을 구축하기.
• 심플렉틱 필드 이론과 그로모프-위튼 이론에서의 불변량을 계산하기 위한 기초 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• M-다형체를 기반으로 한 국소 모델로 에프-군oids를 사용한다. 이는 에탈 프로퍼 리 군oids의 일반화이다.
• 강한 다형체 벡터다발을 정의하며, 이는 이중 정수 필터링 $W_{n,k}$를 갖는다. 여기서 $k$는 섬유의 정규성, $n$은 기저의 정규성을 나타낸다.
• 모르피즘과 호환되는 일반화된 프리드홀 섹션으로서의 프리드홀 함자를 도입함으로써, 다중값 함수를 통한 함자적 페르투르베이션을 가능하게 한다.
• 에프-군oids 위에서 연속적이고 모르피즘에 관여하지 않는 분할항등함수를 사용하여 강한 다발 위의 보조 노름을 구성한다.
• 지역 노름 $\widehat{N}_x$를 연속적 분할항등함수 $\beta_x$를 통해 접합하여 다발 $E$ 위에 전역 보조 노름 $N$을 수립한다.
• sc-미분 형식에 대한 적분 이론을 분기된 에프-부군oids 위에서 정의하기 위해 이 이론을 적용하며, 스토크스 정리를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 전이성 조건이 실패하는 무한차원 및 특이 공간에서 프리드홀 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 에프-군oids는 오비폴드 구조를 다형체로 일반화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 단일값 함수 페르투르베이션이 실패할 경우, 프리드홀 함자를 함자적으로 어떻게 페르투르베이션할 수 있는가?
• RQ4 다양체나 오비폴드가 아닌, 가중치가 부여된 분기 부분다양체인 해 집합 위에서 적분을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ5 프리드홀 함자의 해 집합의 구조는 무엇이며, 어떻게 잘 정의된 적분 이론을 지원하는가?

주요 결과

• 교차하는 프리드홀 함자의 해 집합은 다양체나 오비폴드가 아니라, 가중치가 부여된 분기 부분다양체 또는 부분오비폴드이다.
• 에프-군oids 위에는 연속적이고 모르피즘에 관여하지 않는 분할항등함수가 존재하며, 이는 전역적으로 정의된 보조 노름의 구성에 기여한다.
• 강한 다발 $E$ 위의 보조 노름 $N$은 연속적 분할항등함수 $\beta_x$에 의해 가중치가 부여된 지역 노름 $\widehat{N}_x$의 볼록 조합으로 구성된다.
• 분기된 에프-부군oids 위에서 sc-미분 형식에 대한 적분 이론은 스토크스 정리를 만족하며, 이를 통해 불변량을 정의할 수 있다.
• 이 이론은 심플렉틱 필드 이론과 그로모프-위튼 이론에서의 불변량 계산을 위한 기초를 제공하며, 분기된 구조 위에서의 적분을 통해 이를 실현한다.
• 에프-군oids $X$의 궤도 공간 $|X|$ 는 자연스러운 $\text{sc}^0$-구조를 지니며, 동치인 다형체 구조는 궤도 공간 위에서 $\text{sc}^0$-위상동형을 유도한다.