[논문 리뷰] A general maximum principle for mean-field stochastic differential equations with jump processes

Mokhtar Hafayed, Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 점프 프로세스를 포함한 평균장 스토케스틱 미분 방정식에 대한 최적 제어 문제에 대해 일반적인 스토케스틱 최대원리(Stochastic Maximum Principle)를 수립한다. 여기서 제어는 확산 및 점프 계수 양쪽에 영향을 미친다. 스파이크 변량 방법을 사용하여, 일阶 고조화 프로세스에 대해 점프를 포함한 선형 평균장 역방향 SDE를 포함하는 필요 최적성 조건을 유도하며, 전통적인 결과를 기대값에 의존하는 계수와 점프 역학을 포함하도록 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the optimal control problems for stochastic differential equations (SDEs in short) of mean-field type with jump processes. The control variable is allowed to enter into both diffusion and jump terms. This stochastic maximum principle differs from the classical one in the sense that here the first-order adjoint equation turns out to be a linear mean-field backward SDE with jumps, while the second-order adjoint equation remains the same as in Tang and Li's stochastic maximum principle [32]. Finally, for the reader's convenience we give some analysis results used in this paper in the Appendix.

연구 동기 및 목표

• 점프 프로세스를 포함한 평균장 SDE에 의해 지배되는 최적 제어 문제에 대한 필요 최적성 조건을 개발하는 것.
• 계수들이 상태 프로세스의 기대값에 의존하는 시스템으로 고전적인 스토케스틱 최대원리를 확장하는 것.
• 평균장 프레임워크에 제어에 의존하는 확산 및 점프 계수를 통합하는 것.
• 비용 함수가 또한 평균장 유형인 최적 제어 문제에 대응하는 것.
• 비볼록 제어 도메인과 비볼록 계수에 대해 유효한 일반적인 최대원리를 수립하는 것.

제안 방법

• 최적 제어를 변형하기 위해 스파이크 변량 방법을 적용하여 일阶 최적성 조건을 도출한다.
• 일阶 고조화 방정식을 점프를 포함한 선형 평균장 역방향 SDE로 유도하며, 고전적 SDE와의 차이를 부각한다.
• 점프 프로세스에 대한 마틴게일 표현 정리를 사용하여 고조화 프로세스를 특성화한다.
• 점프 확산에 대한 부분적 통합 공식을 사용하여 비용 함수의 변동성을 다룬다.
• 점프 확산에 대한 이토의 공식과 포아송 랜덤 측도에 대한 확률적 적분의 모멘트 추정을 활용한다.
• 해밀토니안과 제2차 항들을 포함한 변분 부등식을 통해 최적성 조건을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토케스틱 최대원리는 어떻게 점프 프로세스를 포함한 평균장 SDE에 확장될 수 있는가?
• RQ2 제어가 평균장 맥락에서 확산 및 점프 계수 양쪽에 영향을 미칠 때, 최적성에 대한 필요 조건은 무엇인가?
• RQ3 계수가 상태의 기대값에 의존할 경우, 고조화 방정식의 구조는 어떻게 다를까?
• RQ4 스파이크 변량 방법은 점프와 평균장 의존성의 존재 속에서 최적성 조건을 도출하는 데 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ5 유도된 최적성 조건이 비볼록 제어 도메인에 대해 필수적이고 일반적인지를 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 일阶 고조화 방정식은 점프를 포함한 선형 평균장 역방향 SDE이며, 고전적 고조화 방정식을 일반화한다.
• 제2차 고조화 방정식은 당과 리의 프레임워크에서 그대로 유지되며, 고전적 최대원리의 구조를 유지한다.
• 필요 최적성 조건은 해밀토니안과 제어 변동에 대한 이차항을 포함한 변분 부등식을 통해 표현된다.
• 계수와 비용 함수가 기대값에 대해 명시적으로 의존하지 않을 경우, 결과는 당과 리(2003)의 고전적 스토케스틱 최대원리로 축소된다.
• 이 방법은 고조화 프로세스와 점프 기여를 포함하는 해밀토니안 시스템을 통해 최적 제어를 완전히 특성화한다.
• 분석은 엄밀한 모멘트 추정과 적분 가능성 조건을 포함하여 유도된 최적성 조건의 타당성을 보장한다.