[논문 리뷰] A generalization of Ostrowski type inequality for mappings whose second derivatives belong to L$_{1}\left(a,b ight) $ and applications

Ather Qayyum, Ibrahima Faye외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 28.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 번째 도함수가 $L_1(a,b)$에 속하는 함수에 대해 오스트로스키 유형 부등식을 일반화하며, 이전 결과들을 통합하고 확장하는 새로운 부등식을 도입한다. 이 부등식은 매개변수 $h$를 포함하고 있다. 주요 기여는 트레푸조이드 및 중점 규칙을 사용한 수치 적분에 대한 날카운 오차 한계를 확립하는 것으로, 특수 평균과 개선된 잔여항 추정에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, we will improve and generalize inequality of Ostrowski type for mappings whose second derivatives belong to L$_{1}\left(a,b ight) $ . Some well known inequalities can be derived as special cases. In addition, perturbed mid-point inequality and perturbed trapezoid inequality are also obtained. The obtained inequalities have immediate applications in numerical integration where new estimates are obtained for the remainder term of the trapezoid and midpoint formula. Applications to some special means are also investigated.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건으로서 첫 번째 도함수가 유계라는 요구를 하지 않고, 두 번째 도함수가 $L_1(a,b)$에 속하는 함수로 기존 오스트로스키 유형 부등식을 일반화한다.
• 중점 규칙과 트레푸조이드 규칙 사이를 연결하는 매개변수 $h$를 포함한 통합된 부등식을 유도한다.
• $\|f''\|_1$를 이용한 명시적 오차 한계를 갖는 중점 및 트레푸조이드 규칙의 변형된 형태를 확립한다.
• 거듭제곱 평균, 조화 평균, 로그 평균과 같은 특수 평균에 대한 새로운 추정을 도출하기 위해 새로운 부등식을 응용한다.
• 복합 구적법의 잔여항 추정을 향상시켜 더 날카운 잔여항 한계를 제공함으로써 수치 적분의 오차 추정을 개선한다.

제안 방법

• 두 번째 도함수가 $L_1$-노름을 갖는 함수를 다루기 위해 부분 적분과 $L_1$-노름의 성질을 이용해 새로운 오스트로스키 유형 부등식을 유도한다.
• $h \in [0,1]$이라는 매개변수를 도입하여 표준 중점 규칙과 트레푸조이드 규칙 사이를 보간함으로써 일반화된 오차 표현식을 가능하게 한다.
• 항등식 $f(x) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt + \text{오차 항}$을 사용하고, 오차 항을 $\|f''\|_1$를 통해 유계화한다.
• 특정 매핑($f(x) = x^r$, $f(x) = 1/x$, $f(x) = \ln x$)에 적용하여 특수 평균에 대한 부등식을 유도한다.
• 중점 및 트레푸조이드 규칙의 변형된 형태를 $f'(a)$, $f'(b)$ 및 $h$를 포함하는 수정 항을 도입하여 유도한다.
• 국소 오차 추정 $\frac{h_i^2}{8}\|f''\|_1$을 사용하여 $n$-구간 구적법의 복합 오차 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첫 번째 도함수가 유계라는 조건 없이, 두 번째 도함수가 $L_1(a,b)$에 속하는 함수에 대해 오스트로스키 유형 부등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 두 번째 도함수가 $L_1(a,b)$에 속할 때, 변형된 중점 및 트레푸조이드 규칙의 최적 오차 한계는 무엇인가?
• RQ3 일반화된 부등식을 사용하여 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균, 로그 평균과 같은 특수 평균에 대한 새로운 부등식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 새로운 오차 한계는 전통적 방법에 비해 날카움과 적용 가능성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 매개변수 $h$는 일반화된 부등식에서 중점 규칙과 트레푸조이드 규칙의 기여를 균형 있게 조절하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이 논문은 $f \in C^2[a,b]$ 이고 $f'' \in L_1(a,b)$ 이며, $x \in [a + h\frac{b-a}{2}, b - h\frac{b-a}{2}]$ 인 경우에 대해 새로운 일반화된 오스트로스키 유형 부등식을 확립한다. 오차 한계는 $\left[\frac{1}{2}(b-a)(1-h) + |x - \frac{a+b}{2}|\right]^2 \|f''\|_1$ 비례한다.
• 변형된 트레푸조이드 규칙의 경우, 잔여항은 $|R_T| \leq \sum_{i=0}^{n-1} \frac{h_i^2}{8}\|f''\|_1$ 를 만족하며, 이는 기존 추정보다 향상된 것이다.
• 변형된 중점 규칙의 경우, 잔여항은 $\frac{1}{8}(b-a)^2(1-h)^2\|f''\|_1$ 이하로 유계화되며, $h=0$일 때는 $\frac{1}{8}(b-a)^2\|f''\|_1$ 으로 축소된다.
• 함수 $f(x) = x^r$ 에 적용했을 때, 부등식은 $|A^r - L_r^r(a,b)| \leq \frac{1}{8}(b-a)^2 |r(r-1)L_{r-1}^{r-1}(a,b)|$ 를 도출하며, 이는 거듭제곱 평균에 대한 새로운 한계를 제공한다.
• $f(x) = \frac{1}{x}$ 에 적용했을 때, 부등식은 $|A^{-1} - L^{-1}(a,b)| \leq \frac{1}{4}(b-a)^2 L_{-3}^{-3}(a,b)$ 를 도출하며, 이는 조화 평균에 대한 새로운 추정이다.
• $f(x) = \ln x$ 에 적용했을 때, 부등식은 $|\ln A - \ln I(a,b)| \leq \frac{1}{8}(b-a)^2 L_{-2}^{-2}(a,b)$ 를 이끌어내며, 이는 $\left|\frac{A}{I}\right| \leq \exp\left(\frac{(b-a)^2}{8}L_{-2}^{-2}(a,b)\right)$ 를 함의한다.