[논문 리뷰] A generalization of product construction of multimagic squares

Yong Zhang, Kejun Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 22.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대각 라틴 제곱과 크로네커 곱을 사용하여 다중마법 제곱의 곱 생성법을 일반화하여 새로운 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱의 가족을 생성한다. 주요 기여는 기존 복합 다중마법 제곱 생성법을 보완하여 고정 블록 행렬을 구조화된 일반 t-다중마법 제곱으로 대체하는 새로운 생성 방법을 제안한 것이다. 이로 인해 이전에는 접근이 어려웠던, 특히 2 mod 4와 합동인 순서에 대해 무한한 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱의 가족을 도출할 수 있게 되었다.

ABSTRACT

In this paper, constructions of multimagic squares are investigated. Diagonal Latin squares and Kronecker products are used to get some constructions of multimagic squares. Consequently, some new families of compound multimagic squares are obtained.

연구 동기 및 목표

• 표준 크로네커 곱 프레임워크를 초월하여 다중마법 제곱의 곱 생성법을 일반화하는 것.
• 기존 방법으로는 일반적으로 제외되는 2 mod 4와 합동인 순서에 대해 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱을 구성하는 데에 발생하는 격차를 메우는 것.
• 마법 제곱의 구조적 분할을 사용하여 다중마법 제곱의 존재에 대한 새로운 충분조건을 설정하는 것.
• 수직 대각 라틴 제곱과 복합 곱 기법을 활용하여 알려진 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱의 구성법을 더 큰 범위의 순서로 확장하는 것.

제안 방법

• 블록 행렬 $ J_{m\times m} \bigotimes B $ 가 일반 t-다중마법 제곱 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 로 대체되는 일반화된 곱 생성법을 도입하며, 이를 PGMS($ mn,t $) 로 표기한다. 여기서 각 블록 $ B_{u,v} $ 는 MS($ n,t-1 $) 이다.
• 새로운 곱 $ A * B = n^2 A \otimes J_{n\times n} + \tilde{\mathcal{B}} $ 를 정의한다. 여기서 $ A $ 는 MS($ m,t $) 이고 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 는 PGMS($ mn,t $) 이며, 결과로 얻어진 행렬은 MS($ mn,t $) 가 된다.
• 수직 대각 라틴 제곱을 사용하여 필요한 PGMS($ mn,t $) 블록을 구성하며, 이러한 쌍이 존재하는 조건은 $ n \notin \{2,3,6\} $ 일 때이다.
• 크로네커 곱의 구조를 활용하여 모든 거듭제곱 $ e = 1,2,\dots,t $ 에 대해 다중마법 성질을 유지한다. 이를 위해 $ c_{i,j}^e $ 의 행, 열, 대각합이 기대되는 마법 수 $ S_e(mn) $ 와 일치하도록 보장한다.
• 이 구성법을 반복적으로 적용하고, 보이어의 웹사이트 및 첸-리의 결과와 같은 기존의 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱에 대한 연구를 통합하여 존재성을 새로운 순서로 확장한다.
• 만약 $ A $ 가 MS($ m,2 $) 이고 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 가 PGMS($ mn,2 $) 이면 $ A * B $ 는 MS($ mn,2 $) 가 되며, 이는 $ mn \equiv 2 \pmod{4} $ 인 경우에도 이마법 제곱을 구성할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 다중마법 제곱 곱 생성법은 $ J_{m\times m} \otimes B $ 를 초월하여 $ J_{m\times m} \otimes B $ 를 초월하는 더 유연한 블록 구조를 포함할 수 있는가?
• RQ2 $ J_{m\times m} \otimes B $ 를 구조화된 분할된 t-다중마법 제곱 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 로 대체할 경우 다중마법 성질이 유지되는가?
• RQ3 이 일반화된 구성법은 기존 방법으로는 일반적으로 제외되는 2 mod 4와 합동인 순서에 대해 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱을 생성할 수 있는가?
• RQ4 $ t \geq 2 $ 일 때 $ m $ 과 $ n $ 에 어떤 조건이 성립하면 PGMS($ mn,t $) 가 존재하는가?
• RQ5 이 일반화된 곱을 사용하여 기존의 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱 가족을 복합 순서로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ A $ 가 MS($ m,t $) 이고 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 가 PGMS($ mn,t $) 이면 일반화된 곱 $ A * B = n^2 A \otimes J_{n\times n} + \tilde{\mathcal{B}} $ 가 MS($ mn,t $) 가 되며, 이는 표준 곱 생성법을 일반화함을 증명한다.
• 이마법 제곱의 경우, $ mn \in \Omega_4 = \{ mn \mid 8 \leq m \leq 64, m \equiv 2 \pmod{4}, n \geq 5, n \text{ 홀수} \} $ 에 대해 새로운 MS($ mn,2 $) 의 가족을 도출한다. 이는 이전에는 접근이 어려웠던 2 mod 4와 합동인 순서를 포함한다.
• 순서 $ n $ 의 수직 대각 라틴 제곱 쌍이 존재하면 ( $ n \notin \{2,3,6\} $ 일 때), PGMS($ mn,2 $) 를 구성할 수 있으며, 이는 새로운 이마법 제곱을 생성하는 데 필수적이다.
• 삼중마법 제곱의 경우, $ m \in \{12,24,40\} \cup \{2^l \mid l \geq 4\} $ 이고 $ n \in \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \Omega_3 \cup \Omega_4 $ 이면 MS($ mn,3 $) 가 존재함을 증명한다. 이는 알려진 삼중마법 제곱 가족을 확장한다.
• 마법 제곱의 보완성 특성을 활용한다. 만약 $ A $ 가 $ t $ 가 짝수인 MS($ n,t $) 이면 $ B = (n^2-1)J_{n\times n} - A $ 도 MS($ n,t $) 가 되며, 이는 $ l \geq 1 $ 인 $ 2l $-SCMS($ n,t $) 를 생성할 수 있게 하여 구조적 블록으로 사용된다.
• 이 방법은 특히 $ mn \equiv 2 \pmod{4} $ 인 순서에 대해 새로운 무한한 이마법 제곱 및 삼중마법 제곱의 가족을 성공적으로 생성하였으며, 이는 기존 표준 곱 생성법에서 이러한 순서가 일반적으로 제외되었던 문헌의 격차를 메운다.