[논문 리뷰] A generalization of Ramsey theory for stars and one matching

Amir Khamseh, Gholamreza Omidi|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 11.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 극도의 그래프 이론과 Vizing의 정리에 기반하여, t-간선 색칠된 완전 그래프에서 s개의 단색 별 또는 하나의 매칭을 보장하기 위해 필요한 최소 정점 수를 결정함으로써 램지 유형 문제를 일반화한다. 주요 결과는 별과 하나의 매칭을 포함하는 구성에 대해 s와 별의 크기 조건에 따라 정확한 공식을 제공하는 d-색칠 램지 수 r_{t-1}^t의 값을 제시한다.

ABSTRACT

A recent question in generalized Ramsey theory is that for fixed positive integers $s\leq t$, at least how many vertices can be covered by the vertices of no more than $s$ monochromatic members of the family $\cal F$ in every edge coloring of $K_n$ with $t$ colors. This is related to {$d$-chromatic Ramsey numbers} introduced by Chung and Liu. In this paper, we first compute these numbers for stars generalizing the well-known result of Burr and Roberts. Then we extend a result of Cockayne and Lorimer to compute $d$-chromatic Ramsey numbers for stars and one matching.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 램지 이론을 일반화하여 단색 별과 매칭에 관한 결과를 t-색상 간선 색칠된 완전 그래프로 확장한다.
• d = t-1일 때 별과 하나의 매칭을 포함하는 가족에 대해 d-색칠 램지 수 r_{t-1}^t(G_1,…,G_t)를 계산한다.
• 매칭의 크기와 별의 크기 조건에 따라 램지 수의 날카운 상한과 하한을 확립한다.
• Burr, Roberts, Cockayne, 그리고 Lorimer의 이전 결과를 일반화된 램지 수의 맥락에서 통합하고 확장한다.

제안 방법

• 극도의 그래프 이론을 사용하여 별 K_{1,m_i}를 피하는 간선 수를 제한하며, 부등식 ex(p, K_{1,m}) ≤ p(m-1)/2를 활용한다.
• 새우집 원리에 기반한 색칠 논증을 적용한다: 모든 색상에 대해 (m_i - 1)의 합이 크면, 나머지 t-1개 색상에서 하나의 색상 클래스가 별을 포함해야 한다.
• Vizing의 정리를 활용하여 t-1개 색상으로 부분 그래프의 간선 색칠을 구성함으로써, 제어된 차수를 확보하고 단색 별을 피한다.
• 정점 집합의 분할과 간선에 대한 색상의 신중한 할당을 통해 K_n의 명시적 색칠을 구성함으로써 하한을 확보한다.
• 유도와 재귀적 감소를 사용하여 r_{t-1}^t를 r_{t-2}^{t-1}과 관련지어 문제를 더 작은 경우로 단순화한다.
• t-1개 색상의 합집합에서 최대 매칭을 분석하여, 정점 차수가 임계값을 초과할 경우 모순을 도출함으로써 필요한 부분 그래프의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 t-간선 색칠된 완전 그래프에서 s개의 단색 별 또는 t-1개 색상의 합집합에서 하나의 매칭을 보장하기 위해 필요한 최소 정점 수는 얼마인가?
• RQ2 한 그래프가 별이 아닌 매칭으로 대체될 경우, d-색칠 램지 수 r_{t-1}^t(K_{1,m_1},…,K_{1,m_t})는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 램지 수가 2s, R_{t-1}, 또는 (⌈(∑ + s)/(t-1)⌉) + 1이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 경계는 별의 총 크기와 매칭의 크기에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 d = t-1이고 가족에 별과 하나의 매칭이 포함될 때, 일반화된 램지 수가 정확히 결정될 수 있는가?

주요 결과

• t-1개의 별과 하나의 매칭을 포함하는 d-색칠 램지 수 r_{t-1}^t는 2s ≥ R_{t-1}일 때 정확히 R = R_{t-1}이 된다. 여기서 R_{t-1}은 t-1개 색상에서 t-1개의 별에 대한 램지 수이다.
• 2s < R_{t-1}이고 i에 대해 (m_i - 1)의 합이 (2t - 3)s - t + 2보다 작을 경우, 램지 수는 정확히 2s이다.
• 2s < R_{t-1}이고 ∑ ≥ (2t - 3)s - t + 2일 경우, 램지 수는 R = ⌈(∑ + s)/(t - 1)⌉ + 1이다.
• 논문은 d = t-1인 t-색칠에 대해 s와 별의 크기 상대적 크기에 따라 램지 수의 완전한 분류를 제공한다.
• 결과는 별에 대한 알려진 결과(d=1)를 일반화하며, Cockayne-Lorimer 정리를 d = t-1인 t-색칠로 확장한다.
• Vizing의 정리와 정점 분할을 사용한 극도 색칠의 구성은 상한의 날카로움을 증명하며, 정확한 값을 확립한다.