[논문 리뷰] A Generalization of Schur's Theorem

Jon Henry Sanders|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 Schur의 정리를 일반화하여, 임의의 양의 정수 $ t $와 $ n $에 대해, $ \{1, \ldots, J(t,n) olimits\} $의 임의의 $ t $-색칠에 대해 서로 다른 수가 아닐 수 있는 $ n $개의 수로 이루어진 수열이 존재하여, 그들의 부분집합 합이 모두 한 색상 반클래스에 속하도록 보장하는 수 $ J(t,n) $ 가 존재함을 증명한다. 증명은 반복된 Ramsey 이론적 추론과 부분집합의 구조를 인코딩하기 위한 새로운 부호화된 합 함수를 사용하며, 고전적인 분할 정규성 결과를 모든 유한한 부분집합 합으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper is an excerpt from the author's 1968 PhD dissertation [Yale University, 1968] in which the (now) well-known result, commonly known as the Folkman-Rado-Sanders theorem, is proved. The proof uses (finite) alternating sums of integers and an 'iterated Ramsey theorem' in a way analogous to the proof of Schur's theorem using differences of integers and Ramsey's theorem for the coloring of the edges of a complete graph. The proof predates all others except J. Folkman, who based his proof on van der Waerden's theorem. The paper also contains the first published statement of the countable version of the theorem, which came to be misattributed to Graham and Rothschild, but predated their statement by three years.

연구 동기 및 목표

• $ a + b = c $의 단색 해에 대한 Schur의 고전적 정리를, $ n $-원소 수열의 모든 유한한 부분집합 합으로 확장하기.
• 임의의 $ \mathbb{N} $의 유한한 색칠에서 $ n $개 수의 $ 2^n - 1 $개의 비어있지 않은 부분집합 합에 대해 분할 정규성 결과의 존재를 확립하기.
• 반복된 Ramsey 이론을 사용하여 Schur 유형 결과의 구조를 고차원 구성으로 일반화하기.
• 이러한 결과가 무한 수열으로까지 확장되는지 탐색하고, 그러한 일반화에서의 장애 요소를 규명하기.

제안 방법

• 집합 $ S $의 부분집합 $ B \subseteq S $에 대해, 원소가 정렬된 순서에서의 위치에 따라 부호를 번갈아 가며 정의된 부호화된 합 함수 $ f(B) $ 를 정의하여 부분집합을 $ S $ 내의 정수로 매핑하기.
• 이 함수를 사용해 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $의 $ t $-색칠을 그 비어있지 않은 부분집합의 색칠로 확장함으로써, Ramsey 이론적 기법의 적용을 가능하게 하기.
• 증명의 핵심이 되는 반복된 Ramsey 정리(보조정리 1)를 적용하여, 증가하는 $ r $에 대해 모든 $ r $-부분집합이 사전에 정해진 색상 반클래스에 속하는 큰 부분집합 $ K $ 가 존재함을 보장하기.
• 스케일된 집합에 대한 귀납 가정을 사용해 $ a_1, \ldots, a_n $ 수열을 재귀적으로 구성함으로써, 모든 부분집합 합이 단색임을 보장하기.
• 부호화된 합 함수의 구조적 성질과 부분집합의 합집합 연산을 이용해, 다양한 부분집합 조합 간의 단색성을 유지하기.
• 비중복 수열을 축소하는 조건을 통해, 비중복 해의 존재를 증명하는 보조정리를 제시함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ \mathbb{N} $의 유한한 색칠이 비어있지 않은 부분집합 합이 모두 같은 색상 반클래스에 속하는 단색 $ n $-튜플을 포함하는가?
• RQ2 고전적인 Schur 정리는 $ a + b = c $ 이외의 $ n $-튜플의 $ 2^n - 1 $개의 부분집합 합으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ3 임의의 $ t $-색칠이 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 에서 이러한 단색 $ n $-튜플을 포함하기 위한 최소 수 $ J(t,n) $ 는 무엇인가?
• RQ4 이 결과의 무한 버전은 존재하는가? 즉, 모든 유한한 부분집합 합이 같은 색상인 무한 수열이 존재하는가?
• RQ5 무한한 경우에 이 정리가 성립하지 않는 이유가 되는 구조적 장애 요소는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 모든 $ t, n \in \mathbb{N} $ 에 대해, 임의의 $ t $-색칠이 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 에 대해 단색 비어있지 않은 부분집합 합을 가진 수열 $ a_1, \ldots, a_n $ 이 존재함을 증명한다.
• 이러한 수열의 존재성은 $ n $ 에 대한 귀납법을 사용하여, $ N(k,r,t) $ 를 핵심 함수로 사용하는 반복된 Ramsey 이론적 구성에 의해 확립된다.
• 보조정리에 따르면, 스케일링과 $ J'(t,n) = J(t, n^4) $ 를 사용함으로써, 단색 수열의 원소를 서로 다를 수 있도록 가정할 수 있음을 보여준다.
• 논문은 부분집합을 $ \{1, \ldots, J(t,n)\} $ 내의 정수로 매핑하는 부호화된 합 함수 $ f(B) $ 를 구성하여, 멱집합에 대해 Ramsey 정리를 적용할 수 있도록 한다.
• 무한 일반화(정리 $ 2' $)는 일반적으로 참이 아니며, 부분집합 소속성에 대해 대각선화를 사용해 반례를 구성함으로써 이를 보여준다.
• 반례는 특정한 $ \mathcal{P}(\mathbb{N}) $ 의 2-색칠에서 모든 유한한 부분집합 합이 고정된 색상에 속하는 무한 수열이 존재하지 않음을 시사한다.