[논문 리뷰] A Generalization of the Hausdorff Dimension Theorem for Fractals

Mohsen Soltanifar|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 균일 칸토어 집합과 그 곱을 이용한 결정론적 프레임워크를 구축하여, R^n에서 임의로 지정된 하우스도르프 차원과 양의 르베그 측도를 가진 가상의 프랙탈이 존재함을 증명함으로써 하우스도르프 차원 정리의 일반화를 시도한다. 이는 이전에 측도가 0인 프랙탈에 국한된 결과를 넘어서며, 이러한 프랙탈의 집합의 기수는 베티-이중(beth-two)임을 보여주며, 일반화된 균일 칸토어 집합과 그 곱을 이용한 구조적 방법을 제공한다.

ABSTRACT

How many fractals exist in nature or the virtual world In this work, we partially answer the second question using Mandelbrots fundamental definition of fractals and their quantities of the Hausdorff dimension and Lebesgue measure. We prove the existence of beth-two of virtual fractals with a Hausdorff dimension of a bivariate function of them and the given Lebesgue measure. The question remains unanswered for other fractal dimensions.

연구 동기 및 목표

• 문헌에서 하우스도르프 차원이 임의이고 르베그 측도가 양수인 프랙탈의 존재에 대한 격차를 메우기 위해.
• 이전에 측도가 0인 프랙탈에 국한된 존재 정리들을 양의 르베그 측도를 포함하도록 확장하기 위해.
• 지정된 하우스도르프 차원과 르베그 측도를 가진 프랙탈을 생성하기 위한 구조적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 이러한 프랙탈의 집합의 기수를 규명하여, 그것이 베티-이중(beth-two)에 도달함을 보여주기 위해.
• 미래의 무작위적이고 일반화된 프랙탈에 대한 탐색을 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• R에서 매개변수화된 제거 순서 {β_n}를 가진 대칭적인 열린 구간을 반복적으로 제거하여 일반화된 균일 칸토어 집합을 구성한다.
• 중첩된 컴acts 집합의 교차로 정의된 균일 칸토어 집합 C_{β_n}(s,l)는 르베그 측도 l과 s 및 β에 의존하는 하우스도르프 차원을 가지며 보장된다.
• 이러한 칸토어 집합의 가산 합집합의 유한한 카르테시안 곱을 통해 R^n에서의 고차원 프랙탈을 구성한다.
• 프랙탈의 구조를 확인하기 위해 위상 차원(작은 유도 차원)을 사용하여 기저 칸토어 집합의 경우 dim_ind(F) = 0임을 보여준다.
• 카르테시안-슈뢰더-버나이 스템 정리를 적용하여 이러한 프랙탈의 집합의 기수가 베티-이중(beth-two)임을 증명한다.
• 구성된 집합이 만델브로의 프랙탈 정의를 만족함을 확립한다: 비정수 하우스도르프 차원과 세밀하고 불규칙한 구조를 가짐.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R^n에서 주어진 하우스도르프 차원과 양의 르베그 측도를 가진 프랙탈이 구조적으로 존재함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 지정된 하우스도르프 차원과 르베그 측도를 가진 이러한 프랙탈의 집합의 기수는 얼마인가?
• RQ3 양의 측도를 가진 프랙탈의 존재는 이전에 측도가 0인 프랙탈에 국한된 기존 결과를 어떻게 확장하는가?
• RQ4 이러한 프랙탈의 집합의 기수는 프랙탈 차원과 s 및 β와 같은 구조적 매개변수에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 이러한 구조적 방법은 무작위적 또는 비결정론적 프랙탈 생성으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 일반화된 균일 칸토어 집합을 이용하여 R^n에서 임의로 지정된 하우스도르프 차원과 양의 르베그 측도를 가진 프랙탈의 가족을 구성한다.
• 구성된 프랙탈은 l > 0인 르베그 측도와 s와 β의 이변수 함수로 표현되는 하우스도르프 차원을 가지며, 원하는 값으로 조정 가능하다.
• 이러한 프랙탈의 전체 집합의 기수는 베티-이중(beth-two)이며, R^n의 멱집합 및 기타 큰 수학적 집합과 동일한 기수를 가진다.
• 증명은 구조적이며, 순수 존재성 증명과 달리 주어진 하우스도르프 차원과 르베그 측도에 대해 프랙탈을 명시적으로 생성할 수 있다.
• 기저 칸토어 집합의 위상 차원은 0이며, 만델브로의 프랙탈 구조 요구 조건을 충족한다.
• 이 방법은 R^n 내의 비-프랙탈 집합의 기수도 베티-이중(beth-two)임을 보여주기 위해 응용 가능하며, R^n 내 집합의 공간이 얼마나 광범위한지를 부각시킨다.