[논문 리뷰] A Generalization of the Tristram-Levine Knot Signatures as a Singular Furuta-Ohta Invariant for Tori

Mariano Echeverria|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 51인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $S^1 \times S^3$의 호모로지를 갖는 4차원 다양체에서 토러스에 대한 일반화된 Tristram-Levine 결합자 서명을, 특이 Furuta-Ohta 불변량을 통해 제시한다. 토러스 보완의 기약 $SU(2)$ 표현에 대한 부호가 있는 수를 정의함으로써, 이 표현들은 매리디언의 동치류를 고정하며, 매개변수 $α \in (0,1/2)$에 의해 매개화된다. 이 불변량은 곱의 경우 Casson-Lin-Herald 불변량을 복원하며, 이는 결합자 서명 불변량을 토러스로 일반화하고, 인stanton Floer homology 및 Donaldson 유형 불변량과 연결한다.

ABSTRACT

Given a knot $K$ inside an integer homology sphere $Y$, the Casson-Lin-Herald invariant can be interpreted as a signed count of conjugacy classes of irreducible representations of the knot complement into $SU(2)$ which map the meridian of the knot to a fixed conjugacy class. It has the interesting feature that it determines the Tristram-Levine signature of the knot associated to the conjugacy class chosen. Turning things around, given a 4-manifold $X$ with the integral homology of $S^{1} imes S^{3}$, and an embedded torus $T$ inside $X$ such that $H_{1}(T;\mathbb{Z})$ surjects onto $H_{1}(X;\mathbb{Z})$, we define a signed count of conjugacy classes of irreducible representations of the torus complement into $SU(2)$ which satisfy an analogous fixed conjugacy class condition to the one mentioned above for the knot case. Our count recovers the Casson-Lin-Herald invariant of the knot in the product case, thus it can be regarded as implicitly defining a Tristram-Levine signature for tori. This count can also be considered as a singular Furuta-Ohta invariant, and it is a special case of a larger family of Donaldson invariants which we also define. In particular, when $(X,T)$ is obtained from a self-concordance of a knot $(Y,K)$ satisfying an admissibility condition, these Donaldson invariants are related to the Lefschetz number of an Instanton Floer homology for knots which we construct. Moreover, from these Floer groups we obtain Frøyshov invariants for knots which allows us to assign a Frøyshov invariant to an embedded torus whenever it arises from such a self-concordance.

연구 동기 및 목표

• 호모로지가 $S^1 \times S^3$인 4차원 다각형에 임베딩된 토러스로 Tristram-Levine 결합자 서명 불변량을 일반화하는 것.
• 매리디언의 동치류를 고정하는 기약 $SU(2)$ 표현에 대한 부호가 있는 수를 정의하여, 이는 결합자에 대한 Casson-Lin-Herald 불변량과 유사하게 한다.
• 이 수가 곱의 경우 $X = S^1 \times Y$에서 Casson-Lin-Herald 불변량을 복원함으로써, 이는 결합자 서명 불변량을 토러스로 일반화한다.
• 이 불변량을 새로운 유형의 Donaldson 불변량과 연결하고, 종축적 구조를 통한 결합자에 대한 인stanton Floer homology를 구성한다.
• 결합자에 대한 Frøyshov 불변량을 정의하고, 이를 자기-동치성에 의해 유도되는 토러스로 확장한다.

제안 방법

• 기약 $SU(2)$ 표현에 대한 부호가 있는 수 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha) \in \mathbb{Z}$를 정의하며, 이는 $\pi_1(X \setminus T)$의 표현이며, 토러스의 매리디언이 고정된 동치류로 매핑되며, 매개변수 $\alpha \in (0,1/2)$에 의해 매개화된다.
• $H_1(T;\mathbb{Z})$가 $H_1(X;\mathbb{Z})$에 위상으로 사라지게 하여, 불변량이 잘 정의되고 위상적으로 의미 있는지 보장한다.
• Furuta-Ohta 불변량을 일반화하는 새로운 유형의 Donaldson 불변량의 가족을 구성하며, 이는 토러스 불변량을 특수한 경우로 포함한다.
• 종축적 구조를 통한 4차원 다각형에서 정의된 새로운 인stanton Floer homology의 레프셰츠 수와 불변량을 연결한다.
• 오비포드 형태의 인stanton Floer homology $HIL(Y_0, K_0, \alpha)$를 사용하여, 불변량을 오비포드 형태의 오일러 지표로 해석하며, 특히 $X = S^1 \times Y$의 경우에 중점을 둔다.
• 플로어 호모로지로부터 결합자에 대한 Frøyshov 불변량을 정의하고, 이를 자기-동치성에 의해 유도되는 토러스로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Tristram-Levine 결합자 서명은 호모로지가 $S^1 \times S^3$인 4차원 다각형에 임베딩된 토러스로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 토러스 $T \subset X$와 매개변수 $\alpha \in (0,1/2)$에 대해, 매리디언의 동치류를 고정하는 기약 $SU(2)$ 표현에 대한 잘 정의된 부호가 있는 수가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 곱의 경우 $X = S^1 \times Y$에서 제안된 불변량 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$는 Casson-Lin-Herald 불변량 $\lambda_{CLH}(Y,K,\alpha)$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$와 오비포드 형태의 인stanton Floer homology $HIL(Y_0, K_0, \alpha)$의 오일러 지표 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 결합자에 대한 Frøyshov 불변량은 자기-동치성을 통해 임베딩된 토러스로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 불변량 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$는 곱의 경우 $X = S^1 \times Y$에서 Casson-Lin-Herald 불변량 $\lambda_{CLH}(Y,K,\alpha)$를 복원하므로, 이는 결합자 서명을 토러스로 일반화한다.
• $X = S^1 \times S^3$ 및 $T = S^1 \times \text{unknot}$의 경우, 모든 $\alpha$에 대해 불변량 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$가 0이 되며, 이는 $S^1$-다양체 위에 있는 호모로지 구면 위에 올라간 토러스에 대해 이러한 불변량이 0이 되어야 한다는 추측을 지지한다.
• 불변량 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$는 종축적 인stanton Floer homology $HIL(Y_0, K_0, \alpha)$의 오일러 지표와 같을 것으로 추측되며, $\alpha \in \mathbb{Q} \cap (0,1/2)$에 대해 $\chi(HIL(Y_0, K_0, \alpha)) = 2\triangle_K''(1)$이다.
• 이 구성은 Furuta-Ohta 불변량을 일반화하는 새로운 유형의 Donaldson 유형 불변량의 가족을 제공하며, 이는 인stanton Floer homology의 레프셰츠 수와 연결되어 있다.
• 결합자에 대한 Frøyshov 불변량은 새로운 플로어 호모로지로부터 정의되며, 자기-동치성에 의해 유도되는 토러스로 확장될 수 있다.
• 불변량 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$는 특이 Furuta-Ohta 불변량임이 입증되었으며, $S^1$-다양체 위에 올라간 호모로지 구면 위에 있는 토러스로부터 유도된 경우 이 불변량은 0이 되어야 하며, 이는 $\triangle_K''(1)$이 고리의 경우 0이기 때문이다.