[논문 리뷰] A generalization of the Voiculescu theorem for normal operators in semifinite von Neumann algebras

Qihui Li, Junhao Shen외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 29.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능 쌍대를 가진 유한성 von Neumann 대수와 충실한 정규 유한성 측정값을 갖는 반무한성 von Neumann 대수에서 정규 연산자를 다루는 Voiculescu의 정리를 일반화한다. 모든 정규 연산자는 연산자 노름과 힐버트-슈미트 노름에서 대각 연산자로 근사 가능하다는 것을 증명하며, 이는 이 설정에서 비가환 Weyl-von Neumann 정리의 확장이다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a generalized version of the Voiculescu theorem for normal operators by showing that, in a von Neumann algebra with separable pre-dual and a faithful normal semifinite tracial weight $τ$, a normal operator is an arbitrarily small $(\max\{\|\cdot\|, \Vert\cdot\Vert_{2}\})$-norm perturbation of a diagonal operator. Furthermore, in a countably decomposable, properly infinite von Neumann algebra with a faithful normal semifinite tracial weight, we prove that each self-adjoint operator can be diagonalized modulo norm ideals satisfying a natural condition.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능 쌍대를 가진 반무한성 von Neumann 대수의 설정으로 Voiculescu의 정규 연산자에 대한 교란 이론을 확장한다.
• 이러한 대수 내의 모든 정규 연산자가 연산자 노름과 힐버트-슈미트 노름에서 임의로 가까운 대각 연산자로 근사 가능하다는 것을 확립한다.
• 이전 판본의 정리에서 필요로 했던 적절히 무한성 조건을 제거하기 위해 대수를 유한 부분과 적절히 무한 부분으로 분해한다.
• 가산 분해 가능하고 적절히 무한한 von Neumann 대수의 자기수반 연산자가 자연스러운 조건을 만족하는 노름 아이디얼 모odulo에서 대각화될 수 있다는 것을 증명한다.
• 직접 적분 분해에서 측정 가능한 프로젝션의 가족과 스펙트럼 분해를 사용하여 정규 연산자의 대각화를 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 분리 가능 쌍대를 가진 반무한성 von Neumann 대수의 직접 적분 분해를 사용하여 측정 공간에 의해 매개화된 인자들의 가족으로 분해한다.
• 기저 공간 X의 각 s에 대해 측정 가능한 프로젝션의 가족 {q_i^(s)}_i를 구성하여, 거의 모든 곳에서 d = ∑_i λ_i p_i 이며 p_i = U_s^* q_i^(s) U_s 라 정의된 대각 연산자를 정의한다.
• 형식 분해 정리를 적용하여 대수를 유한 부분 (I−p)M 과 적절히 무한 부분 pM으로 나누며, 각 부분을 별도로 다룬다.
• 유한 부분에 속하는 프로젝션에 대해 τ(p_n) < ∞ 임을 이용하여 제어 가능한 힐버트-슈미트 노름을 갖는 대각 근사값을 구성한다.
• 집합 K_m에 대해 μ(K_m) < ∞ 이고 각 K_m에서 ‖a(s) − ∑_i λ_i p_i(s)‖_{s,2}² ≤ ε² / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) 라는 유계를 적용하여, ∫_{K_m} ‖a(s) − ∑_i λ_i p_i(s)‖_{s,2}² dμ ≤ ε² / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) 를 도출한다.
• 유한 부분과 무한 부분의 근사값을 d = d_0 + ∑_n d_n 라 조합하여, max{‖·‖, ‖·‖₂}에서의 총 오차가 ε 이하로 유계가 되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Voiculescu의 정규 연산자에 대한 교란 이론은 B(H)를 초월하여 반무한성 von Neumann 대수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 분리 가능 쌍대를 가진 반무한성 von Neumann 대수의 모든 정규 연산자는 연산자 노름과 힐버트-슈미트 노름에서 임의로 가까운 대각 연산자로 근사 가능한가?
• RQ3 충실한 정규 유한성 측정값을 갖는 대수에서, 이전 판본의 정리에서 요구한 적절히 무한성 조건은 여전히 필수적인가?
• RQ4 가산 분해 가능하고 적절히 무한한 von Neumann 대수의 자기수반 연산자는 자연스러운 성장 조건을 만족하는 노름 아이디얼 모odulo에서 대각화될 수 있는가?
• RQ5 직접 적분 분해에서 측정 가능한 스펙트럼 분해를 어떻게 구성하여 노름 근사치를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 분리 가능 쌍대를 가진 반무한성 von Neumann 대수와 충실한 정규 유한성 측정값 τ를 갖는 정규 연산자 a와 임의의 ε > 0에 대해, max{‖a − d‖, ‖a − d‖₂} ≤ ε 를 만족하는 대각 연산자 d 가 존재한다.
• 증명은 Theorem 6.2.4에서의 적절히 무한성 조건이 불필요하다는 것을 입증하며, 이 결과는 분리 가능 쌍대를 가진 임의의 반무한성 von Neumann 대수로 더 일반적으로 성립한다.
• 대수의 유한 부분은 τ(p_n) < ∞ 인 프로젝션 {p_n}의 합으로 항등원을 분해함으로써 다루며, 이는 작은 힐버트-슈미트 노름을 갖는 대각 근사값의 구성이 가능하다.
• 힐버트-슈미트 노름에서의 근사 오차는 유한 측도를 갖는 집합 K_m 위에서의 통합을 통해 제어되며, ∫_{K_m} ‖a(s) − ∑_i λ_i p_i(s)‖_{s,2}² dμ ≤ ε² / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) 라는 유계를 도출한다.
• 최종 추정식 ∑_{m∈ℕ} ε² μ(K_m) / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) ≤ ε² 는 ‖a − d‖₂ ≤ ε 이며, 이는 증명을 완성한다.
• 이 결과는 Weyl–von Neumann 정리를 비인자 반무한성 von Neumann 대수로 확장하며, Voiculescu의 결과를 측정값을 갖는 더 넓은 대수의 범주로 일반화한다.