[논문 리뷰] A generalized Avikainen's estimate and its applications

Dai Taguchi|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 80인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Avikainen의 추정을 $L^q$-차이에 대해 일반화하여, 유한한 밀도 조건을 $F_f(x) = \mu(f \leq x)$의 허들러 연속성 조건으로 대체한다. 일반화된 추정은 확률미분방정식(SDEs), $\alpha$-스테이블 소음을 가진 SDEs, 분수 Browian 운동, 비정칙 계수를 가진 확률열린 방정식(stochastic heat equations)의 수치적 방법에 대해 정밀한 수렴 속도 분석을 가능하게 한다. 이는 다수준 몽테카를로 방법 등 응용에도 활용된다.

ABSTRACT

Avikainen provided a sharp upper bound of the difference $\mathbb{E}[|g(X)-g(\widehat{X})|^{q}]$ by the moments of $|X-\widehat{X}|$ for any one-dimensional random variables $X$ with bounded density and $\widehat{X}$, and function of bounded variation $g$. In this article, we generalize this estimate to any one-dimensional random variable $X$ with Hölder continuous distribution function. As applications, we provide the rate of convergence for numerical schemes for solutions of one-dimensional stochastic differential equations (SDEs) driven by Brownian motion and symmetric $α$-stable with $α\in (1,2)$, fractional Brownian motion with drift and Hurst parameter $H \in (0,1/2)$, and stochastic heat equations (SHEs) with Dirichlet boundary conditions driven by space--time white noise, with irregular coefficients. We also consider a numerical scheme for maximum and integral type functionals of SDEs driven by Brownian motion with irregular coefficients and payoffs which are related to multilevel Monte Carlo method.

연구 동기 및 목표

• 유한한 밀도 조건이 필요한 Avikainen의 원래 추정을, 허들러 연속적인 누적분포함수를 가진 더 넓은 일변수 확률변수의 클래스로 확장하는 것.
• 누적분포함수의 허들러 정규성에 기반한 확률변수의 함수에 대한 일반 오차 경계를 수립하는 것.
• 비정칙 또는 초선형적으로 증가하는 계수를 가진 확률미분방정식 및 열방정식의 수치적 방법에 대해 일반화된 추정을 적용하여 수렴 속도를 도출하는 것.
• 다수준 몽테카를로 방법을 통해 비정칙 계수를 가진 SDEs에서 최대값 및 적분형 함수에 대한 분석을 지원하는 것.

제안 방법

• 누적분포함수 $F_f(x) = \mu(f \leq x)$의 $\alpha$-허들러 연속성 조건을 사용하여 Avikainen 유형의 일반화된 추정을 유도하며, 이는 유한한 밀도 조건을 대체한다.
• 유한 측도공간 $(S, \Sigma, \mu)$ 위에서 측도론적 프레임워크를 사용하여 $g \circ f$와 $g \circ \widehat{f}$의 $L^q$-노름 오차를 표현한다.
• 총변동 $V(g)$, 허들러 노름 $\|F_f\|_\alpha$, $|f - \widehat{f}|^p$의 모멘트를 포함하는 핵심 부등식을 수립하여, 다음 형태의 경계를 도출한다: $\int_S |g \circ f - g \circ \widehat{f}|^q d\mu \leq C V(g)^q \|F_f\|_\alpha^{p/(p+\alpha)} \mu(S)^{p/(p+\alpha)} \left(\int_S |f - \widehat{f}|^p d\mu\right)^{\alpha/(p+\alpha)}$.
• 모멘트 경계와 Malliavin 미분법을 사용하여 브라운 운동, 대칭 $\alpha$-스테이블 소음($\alpha \in (1,2)$), $H \in (0,1/2)$인 분수 브라운 운동으로 구동되는 SDEs에 추정을 적용한다.
• 공간-시간 백색소음과 비정칙 계수를 가진 열방정식에 대해 추정을 적용하며, Girsanov 정리와 지수 마틴갈 방법을 활용하여 밀도 및 모멘트 경계를 제어한다.
• 비정칙 계수를 가진 SDEs의 최대값 및 적분형 함수에 대한 다수준 몽테카를로 방법에 대해 이 프레임워크를 적용하며, 허들러 연속성과 모멘트 추정을 사용하여 수렴 속도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Avikainen의 추정은 유한한 밀도 조건을 초월하여 허들러 연속적인 누적분포함수를 가진 확률변수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비정칙 또는 초선형적으로 증가하는 계수를 가진 SDEs에서 Euler–Maruyama 방법의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 일반화된 추정은 공간-시간 백색소음과 비정칙 계수를 가진 열방정식에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 비정칙 계수를 가진 SDEs에서 최대값 및 적분형 함수의 다수준 몽테카를로 추정기의 수렴 속도는 어떻게 도출될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 분산형 생성자나 분수 브라운 운동으로 구동되는 비마르코프 및 비세미마르팅글 과정을 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 추정은 밀도의 유한성 조건을 $F_f(x)$의 $\alpha$-허들러 연속성 조건으로 대체하여, 비정칙 과정에 대한 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.
• 경계 및 확산 계수에 대해 약간의 정규성 조건을 만족하는 SDEs에서, Euler–Maruyama 방법은 시간과 공간에 대해 각각 $m^{-\alpha/4}$ 및 $n^{-\alpha/2}$의 수렴 속도를 달성한다. 여기서 $\alpha \in (0,1/2)$이다.
• 디리클레 경계 조건과 공간-시간 백색소음을 가진 열방정식에서, 동일한 정규성 조건 하에서 추정은 $m^{-\alpha/4}$ 및 $n^{-\alpha/2}$의 수렴 속도를 도출한다.
• 이 방법은 비정칙 계수를 가진 SDEs에서 최대값 및 적분형 함수의 다수준 몽테카를로 추정기의 수렴 속도 분석을 가능하게 하며, 오차 경계는 지ay금의 허들러 정규성과 기저 과정의 특성에 따라 달라진다.
• Girsanov 정리와 지수 마틴갈의 모멘트 추정을 사용하여, 분산형 생성자와 관련된 비세미마르팅글 과정의 분석도 지원한다.
• 핵심적인 기술적 진전은 밀도의 초한정성 또는 존재하지 않을 수 있는 경우에도 오차 제어를 가능하게 하는 $\|F_f\|_\alpha$를 밀도의 초노름 대체로 사용하는 데 있다.