[논문 리뷰] A generalized definition of Caputo derivatives and its application to fractional ODEs

Lei Li, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 18인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 분수차 미분방정식의 통합 프레임워크를 제공하기 위해, 복소군 구조를 형성하는 수정된 리만-리우빌 적분법을 통해 일반화된 캡투오 도함수를 도입한다. 주요 기여는 최소한의 정규성 조건 하에서 비선형 분수차 미분방정식과 편미분방정식에 대한 비교 원리 및 에너지 추정을 제공하는 것으로, 해가 유한 시간 내에 폭주할 수 있는 경우에도 적용 가능하다.

ABSTRACT

We extend in this paper the definition of Caputo derivatives of order in $(0,1)$ to a certain class of locally integrable functions using a convolution group. Our strategy is to define a fractional calculus for a certain class of distributions using the convolution group. When acting on causal functions, this fractional calculus agrees with the traditional Riemann-Liouville definition for $t>0$ but includes some singularities at $t=0$ so that the group property holds. Then, making use of this fractional calculus, we introduce the generalized definition of Caputo derivatives. The new definition is consistent with various definitions in literature while reveals the underlying group structure. Since the new definition is valid for a class of locally integrable functions that can blow up in finite time, it provides a framework for solutions to fractional ODEs and fractional PDEs with very weak conditions. The underlying group property makes many properties of Caputo derivatives natural. In particular, it allows us to de-convolve the fractional differential equations to integral equations with completely monotone kernels, which then enables us to prove the general Grönwall inequality (or comparison principle) with the most general conditions. This then provides the essential tools for {\it a priori} energy estimates of fractional PDEs. Some other fundamental results for fractional ODEs are also established within this frame under very weak conditions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 캡투오 도함수와 리만-리우빌 도함수의 군 구조 부재 문제를 해결하기 위해.
• 비선형 분수차 미분방정식의 초기값 문제에 대해 최소한의 부드러움 요구 조건 하에서도 일관되고 일반화된 캡투오 도함수 정의를 수립하기 위해.
• 비선형 분수차 미분방정식의 초기값 문제에 대해 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 새로운 도함수 정의를 통해 분수차 편미분방정식의 사전 에너지 추정을 가능하게 하기 위해.
• t = 0에서 특이성 또는 폭주 현상을 보일 수 있는 국소 적분 가능 함수에까지 분수미분학의 적용 범위를 확장하기 위해.

제안 방법

• t = 0에서의 특이성을 포함하는 커널 gα(t) = θ(t)tα−1/Γ(α)와의 컨볼루션으로 정의된 수정된 리만-리우빌 적분법 Jαϕ를 통해 군 성질을 보장한다.
• Jαϕ에 대한 역컨볼루션 연산을 통해 일반화된 캡투오 도함수 Dγcϕ를 구성함으로써, 고전적 정의와 일관성을 유지하면서도 기초적인 군 구조를 드러낸다.
• Jα의 군 성질을 활용하여 분수차 미분방정식을 완전히 단조 감소하는 커널을 가진 적분방정식으로 분해한다.
• 완전 단조 감소 함수 이론과 라플라스 변환을 적용하여 일반 조건 하에서 비교 원리를 도출한다.
• 컨볼루션의 구조와 커널의 양성 조건을 활용하여 분수차 편미분방정식의 에너지 추정을 수립한다.
• 특히 해밀토니안 형 시스템에 대해 정규화와 분포 수렴을 통해 해의 존재성 및 전역 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 분수적 적분 미분학의 군 구조를 상속할 수 있도록 일반화된 캡투오 도함수를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 비선형 분수차 미분방정식에 대해 일반적인 비교 원리를 수립하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 약한 정규성 조건 하에서 새로운 도함수 프레임워크를 통해 분수차 편미분방정식의 에너지 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 캡투오 도함수로는 부드럽지 않거나 t = 0에서 폭주할 수 있는 함수를 어떻게 다루는가?
• RQ5 새로운 도함수 정의 하에서 분수차 해밀토니안 시스템의 해는 장기적으로 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 일관되고 자연스러운 분수도함수의 일반화를 위해, 복소군을 형성하는 수정된 리만-리우빌 적분법을 기반으로 일반화된 캡투오 도함수가 정의된다.
• 이 새로운 프레임워크는 해가 유한 시간 내에 폭주할 수 있는 경우를 포함하여, 가능한 가장 약한 조건 하에서도 비선형 분수차 미분방정식에 대한 일반적인 비교 원리를 가능하게 한다.
• 완전 단조 감소 커널을 가진 적분형으로 분해함으로써, 분수차 편미분방정식에 대한 사전 에너지 추정이 수립된다.
• Dγc v = J∇vE(v) 형태의 분수차 해밀토니안 시스템의 해는 E(v(t)) ≤ E(v(0))를 만족하여, 적절한 조건 하에서 에너지 감소와 전역 존재성을 보여준다.
• E(p,q) = ½(p² + q²)인 예시 시스템의 경우, γ < 1/2일 때 에너지가 t⁻²γ의 속도로 감소하고 해가 (0,0)으로 수렴함을 확인하여 장기적 안정성을 확인한다.
• 이 프레임워크는 0 < γ < 1 범위에서 강건하며, 고차 분수도함수로 자연스럽게 확장 가능하며, 특이한 극한 γ → 1에서도 일관된 해를 제공한다.