[논문 리뷰] A generalized Fourier approach to estimating the null parameters and proportion of non-null effects in large-scale multiple testing

Jiashun Jin, Jie Peng외 1명|ArXiv.org|2009. 11. 19.

Statistical Methods in Clinical Trials참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 혼합 모형 하에서 대규모 다중 검정에서 알려지지 않은 영가설 파라미터(평균 및 분산)와 비영가설 효과의 비율을 추정하기 위해 일반화된 푸리에 접근법을 제안한다. 특성 함수와 푸리에 변환을 활용함으로써, 영가설보다 비영가설 효과의 평균이 더 크지만 분산에 제약이 없는 상황에서도 효과적으로 대응할 수 있으며, 기존 방법들과 보완적인 해결책을 제공하고 이론적·실험적 성능이 뛰어나다.

ABSTRACT

In a recent paper (Efron (2004)), Efron pointed out that an important issue in large-scale multiple hypothesis testing is that the null distribution may be unknown and need to be estimated. Consider a Gaussian mixture model, where the null distribution is known to be normal but both null parameters--the mean and the variance--are unknown. We address the problem with a method based on Fourier transformation. The Fourier approach was first studied by Jin and Cai (2007), which focuses on the scenario where any non-null effect has either the same or a larger variance than that of the null effects. In this paper, we review the main ideas in Jin and Cai (2007), and propose a generalized Fourier approach to tackle the problem under another scenario: any non-null effect has a larger mean than that of the null effects, but no constraint is imposed on the variance. This approach and that in \cite{JC} complement with each other: each approach is successful in a wide class of situations where the other fails. Also, we extend the Fourier approach to estimate the proportion of non-null effects. The proposed procedures perform well both in theory and in simulated data.

연구 동기 및 목표

• 이론적 영가설이 표준 정규분포가 아닐 경우, 대규모 다중 검정에서 알려지지 않은 영가설 파라미터(평균 및 분산)를 추정하는 데 도전하는 것.
• 비영가설 효과의 평균이 더 크지만 분산에 제약이 없는 상황을 고려하여, 기존의 푸리에 기반 방법들과 보완적인 방법을 개발하는 것.
• 고차원 설정에서 비영가설 효과의 비율을 추정하기 위해 푸리에 프레임워크를 확장하는 것.
• 마이크로어레이 연구와 같은 복잡한 데이터에서 실증적 영가설 추정에 대해 이론적으로 타당하고 실험적으로 효과적인 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 해당 방법은 가우시안 혼합 모형 하에서 관측된 데이터의 특성 함수를 추정하기 위해 특성 함수와 일반화된 푸리에 변환을 사용한다.
• 모르는 평균 $ u_0 $ 와 분산 $ σ_0^2 $ 를 파rameter로 하는 영가설 분포의 특성 함수를 활용하여, 역변환 기법을 통해 추정량을 도출한다.
• 특정 주파수에서의 경험적 특성 함수의 감쇠 정도를 분석함으로써 비영가설 효과의 비율 $ \epsilon $ 을 추정한다.
• 편향과 분산을 균형 잡기 위한 조정 파ram터 $ t_n $ 을 도입하며, 표본 크기와 모형 가정에 기반한 이론적 근거를 바탕으로 그 선택에 대한 정당성을 제시한다.
• 비영가설 효과의 평균이 영가설 평균보다 크며, 혼합 분포가 특정한 모멘트 및 尾 조건을 만족한다고 가정한다.
• 경험적 특성 함수와 기능적 추정을 활용하여, 이중 단계 추정 절차를 통해 영가설 파라미터와 비영가설 비율을 동시에 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이론적 영가설이 잘못 지정된 경우, 대규모 다중 검정에서 알려지지 않은 영가설 평균과 분산을 일致적으로 추정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 비영가설 효과의 평균이 더 크지만 분산이 임의일 경우, 푸리에 기반 방법의 이론적 성능는 어떠한가?
• RQ3 일반화된 푸리에 접근법은 고차원 데이터에서 비영가설 효과의 비율을 추정하는 데까지 확장될 수 있는가?
• RQ4 다양한 모형 구성 조건 하에서 기존 방법들과 비교해 본다면, 제안된 방법의 성능와 내구성은 어떠한가?
• RQ5 비영가설 비율 추정량이 비잔연한 속도로 수렴하는 데 필요한 정규성 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 일반화된 푸리에 접근법은 온건한 정규성 조건 하에서 영가설 파라미터 $ (u_0, \sigma_0^2) $ 와 비영가설 효과 비율 $ \epsilon $ 의 일致한 추정을 달성한다.
• 시뮬레이션 연구를 통해 유한 표본에서도 뛰어난 성능을 보이며, 특히 비영가설 효과의 평균이 영가설보다 큰 경우에 유특히 효과적이다.
• 비영가설 비율 추정량 $ \epsilon_n $ 이 조정 주파수 $ t_n $ 의 선택에 따라 진동하는 속도로 진동하며, 혼합 분포에 대한 조건 하에서 수렴이 보장된다.
• 이론적 분석 결과, $ \epsilon_n $ 의 추정 오차는 $ O(n^{A\gamma - 1}) $ 으로 유계이며, $ A\gamma < 1 $ 이면 일致성이 확보된다.
• 모형 잘못 지정에 대해 강건하며, 마이크로어레이 데이터처럼 실증적 영가설이 이론적 영가설에서 벗어날 경우 기존 표준 방법보다 뛰어난 성능을 보인다.
• 두 가지 다른 상황에서 이론적 보장을 확보한다: 하나는 비영가설 평균이 영가설 평균보다 확률적으로 더 큰 경우이며, 다른 하나는 혼합 분포에 대한 모멘트 및 尾 조건이 만족되는 경우이다.