[논문 리뷰] A Generalized Fractional Calculus of Variations

Tatiana Odzijewicz, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 18.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 47인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 커널을 가진 일반화된 분수적 적분을 사용하여 일반화된 분수적 변분법을 제안하며, 고전적 및 분수적 도함수를 혼합한 변분 문제에 대해 오일러–라그랑주 방정식, 자연 경계 조건, 그리고 대칭성에 대한 노에터 유형 정리의 수립을 가능하게 한다. 주요 기여는 비보존 시스템으로의 고전적 변분 원리의 일반화된 프레임워크를 제공하는 것으로, 감쇠된 조화 진동자와 대칭 변환에 대한 불변성에 의해 확인된다.

ABSTRACT

In this PhD thesis we introduce a generalized fractional calculus of variations. We consider variational problems containing generalized fractional integrals and derivatives, and study them using standard (indirect) and direct methods. In particular, we obtain necessary optimality conditions of Euler-Lagrange type for the fundamental and isoperimetric problems, natural boundary conditions, and Noether theorems. Existence of solutions is shown under Tonelli type conditions. Moreover, we apply our results to prove existence of eigenvalues, and corresponding orthogonal eigenfunctions, to fractional Sturm-Liouville problems.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 분수적 도함수를 사용하여 고전적 변분 원리를 비보존 시스템으로 확장하는 일반화된 분수적 변분법을 개발하는 것.
• 다양한 비정수 차수를 가진 고전적 도함수와 일반화된 분수적 적분 및 도함수를 포함한 변분 문제에 대해 필요 최적 조건을 유도하는 것.
• 일반화된 분수적 설정에서 자유 경계값 문제에 대한 자연 경계 조건을 수립하는 것.
• 분수적 변분 문제에서 대칭성 불변성에 대한 일반화된 노에터 유형 정리를 제시하는 것.
• 감쇠된 조화 진동자와 대칭 불변 시스템을 통해 프레임워크의 적용 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 임의의 커널 $ k_eta(x,t) $를 가진 왼쪽 및 오른쪽 분수적 적분의 선형 조합으로 정의된 일반화된 분수적 적분 연산자 $ K_P^eta $ 를 정의하며, $ P = \big\bracevert a,x,b,p,q \big\bracevert $ 를 매개변수로 사용한다.
• 고전적 도함수와 일반화된 적분 연산자를 조합하여 일반화된 분수적 리만–리우빌 및 카푸토 도함수를 도입한다.
• 일반화된 기본 변분 문제에 대해 $ n $개의 일반화된 분수적 카푸토 도함수와 $ n $개의 일반화된 분수적 적분을 포함하는 함수에 대해 표준 변분법을 적용하여 오일러–라그랑주 방정식을 유도한다.
• 고정되지 않은 끝점이 있는 변분을 고려하여 자유 경계값 문제에 대한 자연 경계 조건을 유도한다.
• 일반화된 분수적 설정으로의 등고선 문제를 확장하고, 해당하는 오일러–라그랑주 유형 방정식을 유도한다.
• 일단파rameter 변환에 대한 기능의 불변성을 분석하여 일반화된 노에터 유형 정리를 증명하며, 커널의 도함수를 포함하는 보존 법칙을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고전적 도함수와 비정수 차수의 분수적 도함수 및 적분을 포함하는 변분법을 임의의 커널을 가진 방식으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 다양한 차수를 가진 다수의 분수적 연산자를 포함하는 일반화된 분수적 변분 문제에 대해 필요한 최적 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 분수적 변분법에서 자유 경계값 문제에 대한 자연 경계 조건은 무엇인가?
• RQ4 등고선 문제를 일반화된 분수적 설정으로 어떻게 확장할 수 있으며, 그 결과로 도출되는 오일러–라그랑주 방정식은 무엇인가?
• RQ5 일반화된 분수적 변분법에서 노에터 유형 정리의 형태는 무엇이며, 대칭성과 보존 법칙과의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 논문은 $ n $개의 일반화된 분수적 카푸토 도함수와 $ n $개의 일반화된 분수적 적분을 포함하는 변분 문제에 대해 일반화된 오일러–라그랑주 방정식을 도출한다. 이들 각각은 서로 다른 비정수 차수를 가진다.
• 자유 경계값 문제의 경우, 커널의 도함수 $ k_eta(b,t) $ 를 포함하는 자연 경계 조건이 수립된다. 이는 $ \frac{d}{dt} \big( k_\beta(b,t) \frac{\nu}{\nu t} \big) $ 로 표현되며, 여기서 $ \nu $ 는 일반화된 분수적 도함수를 나타낸다.
• 일반화된 등고선 문제에서는 $ \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) $ 비례하는 추가 항이 포함된 오일러–라그랑주 방정식을 도출한다. 이는 커널이 극값 조건에 미치는 영향을 반영한다.
• 일반화된 노에터 유형 정리가 증명된다: 기능이 일파라미터 변환군에 대해 불변이라면, 커널의 도함수를 포함하는 보존 법칙이 성립하며, 그 형태는 $ \frac{d}{dt} \big( \tilde{\rho} \big) + \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) \tilde{\rho} = 0 $ 이다. 여기서 $ \tilde{\rho} $ 는 일반화된 운동량이다.
• 라그랑지안 $ L = \frac{1}{2}m(\tilde{y}_1^2 + \tilde{y}_2^2 + \tilde{y}_3^2) - V(\textbf{y}) $ 를 가진 감쇠된 조화 진동자에 대해 유도된 방정식은 $ \tilde{y}_i + \frac{\nu}{\nu t} \tilde{y}_i + \frac{1}{m} \frac{\nu V}{\nu y_i} = 0 $ 로 줄어들며, 이는 알려진 소산 동역학과 일치한다.
• 표준 운동량 $ p_i = m \tilde{y}_i $ 는 $ \beta = 0 $ 일 때에만 이동 대칭성 하에 보존되며, $ \beta \neq 0 $ 일 경우 보존 법칙은 소용리터 항 $ \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) $ 를 포함한다. 이는 비국소성이 보존 법칙에 어떻게 영향을 주는지를 보여준다.