[논문 리뷰] A Generalized Mixed Zero-sum Stochastic Differential Game and Double Barrier Reflected BSDEs with Quadratic Growth Coefficient

Saïd Hamadène, Eduard Rotenstein외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 09.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지ay가 Z-성분에서 이차 성장 조건을 만족하는 이중 반사 후행 확률 미분 방정식(doubly reflected backward stochastic differential equations, BSDEs)으로 모델링된 일반화된 혼합 제로섬 스토크라스틱 미분 게임에서 안장점의 존재를 확립한다. 상한 및 하한 가치 함수가 결정론적임을 증명하고, 이는 두 개의 장애물이 있는 이자크스 방정식(Isaacs equations)의 점성 해(solution)으로 유일하게 특징지어지며, 위험 감수성 제어와 미국형 게임 옵션 프레임워크를 확장한다.

ABSTRACT

This article is dedicated to the study of mixed zero-sum two-player stochastic differential games in the situation when the player's cost functionals are modeled by doubly controlled reflected backward stochastic equations with two barriers whose coefficients have quadratic growth in Z. This is a generalization of the risk-sensitive payoffs. We show that the lower and the upper value function associated with this stochastic differential game with reflection are deterministic and they are also the unique viscosity solutions for two Isaacs equations with obstacles.

연구 동기 및 목표

• 지역적 제어와 미국형 게임 옵션을 일반화하기 위해 지표를 Z-성분에서 이차 성장 조건을 만족하는 이중 반사 BSDE로 모델링한다.
• 조기 정지와 벌금을 겪을 수 있는 혼합 제로섬 스토크라스틱 미분 게임을 분석한다.
• 두 개의 장애물이 있는 이자크스 방정식의 결정론적 점성 해로서 상한 및 하한 가치 함수의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 다이닉 게임과 위험 감수성 제어의 프레임워크를 반사와 이차 계수를 갖는 동일한 BSDE 기반 구조 아래 통합한다.

제안 방법

• 저자들은 지표를 두 개의 장벽과 이차 성장 조건을 갖는 이중 반사 BSDE로 모델링한다.
• Z-성분에서 이차 성장 조건을 갖는 BSDE의 존재성 및 유일성 결과인 코보리안스키의 결과를 활용하여 기초 BSDE의 잘 정의됨을 보장한다.
• 가치 함수는 BSDE 해를 지수 변환을 통해 유도하며, 이는 BSDE 해와 게임의 지표 구조 사이의 연결 고리를 형성한다.
• 이토의 공식과 마틴갈 representation을 활용하여 게임의 가치와 BSDE 해 사이의 관계를 정의적으로 규명하며, 지표가 초기 BSDE 값의 지수와 같음을 보여준다.
• 점성 해 이론을 적용하여 상한 및 하한 가치 함수를 두 개의 장애물이 있는 이자크스 방정식의 해로 특징지운다.
• 이중 반사 장벽을 갖는 BSDE 해의 특성화를 활용하여 가치 함수의 동적 프로그래밍 원리를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정지 시간과 반사 조건이 있는 혼합 제로섬 스토크라스틱 미분 게임의 가치 함수는 장애물이 있는 HJB 유형 방정식의 점성 해로 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 생성자에서 Z-성분에 이차 성장 조건이 포함될 경우, 기초 BSDE의 해의 존재성 및 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 상한 및 하한 가치 함수가 일치하는 조건은 무엇이며, 이 일반화된 게임 설정에서 그 결정론적 성격은 어떻게 설명되는가?
• RQ4 위험 감수성 선호도를 반영하는 지수 지표 구조는 표준적인 위험 중립성 다이닉 게임과 미국형 게임 옵션을 얼마나 일반화하는가?
• RQ5 이중 반사 BSDE와 이차 성장 조건을 갖는 해는 정지 시간이 있는 혼합 스토크라스틱 미분 게임의 가치를 충분히 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 혼합 제로섬 스토크라스틱 미분 게임의 상한 및 하한 가치 함수는 결정론적임을 보이며, 이는 핵심적인 구조적 결과이다.
• 이 가치 함수들은 두 개의 장애물이 있는 두 개의 이자크스 방정식의 점성 해로 유일하게 특징지어지며, 반사 및 이차 성장 조건이 있는 설정으로 고전적 HJB 이론을 확장한다.
• 게임의 지표는 Z-성분에서 이차 성장 조건을 갖는 이중 반사 BSDE의 초기 값의 지수로 표현되며, 이는 확률 제어 이론과 BSDE 이론을 연결한다.
• 두 개의 반사 장벽과 이차 생성자로 구성된 BSDE의 해는 계수의 유계성 및 정규성 조건 하에서 가치 함수의 존재성 및 유일성을 보장한다.
• 가치 함수의 동적 프로그래밍 원리는 정지 시간에 대한 본질적 하한 및 상한을 활용한 BSDE 해의 특성화를 통해 확립된다.
• 논문은 문헌에서의 격차를 규명한다: 상한 및 하한 가치 함수가 모두 점성 해로 존재하나, 그 상호 동일성 문제는 여전히 열려있다.