[논문 리뷰] A Generalized Nonlocal Calculus with Application to the Peridynamics Model for Solid Mechanics

Bacim Alali, Kuo Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 03.

Numerical methods in engineering참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 페리다이내믹스와 비국소 확산 모델에 응용할 수 있는 일반화된 비국소 미적분 프레임워크를 제안한다. 비국소 발산, 기울기 및 그 수반 연산자를 특정 커널을 가진 적분 연산자로 공식화함으로써, 일반적인 부분적분 및 그린 항등식을 유도하였으며, 고전적 페리다이내믹스가 이러한 연산자를 통해 우아하게 표현될 수 있음을 보였다. 주요 결과로는 비국소 연산자의 더 단순한 형태가 드러났다.

ABSTRACT

A nonlocal vector calculus was introduced in [2] that has proved useful for the analysis of the peridynamics model of nonlocal mechanics and nonlocal diffusion models. A generalization is developed that provides a more general setting for the nonlocal vector calculus that is independent of particular nonlocal models. It is shown that general nonlocal calculus operators are integral operators with specific integral kernels. General nonlocal calculus properties are developed, including nonlocal integration by parts formula and Green's identities. The nonlocal vector calculus introduced in [2] is shown to be recoverable from the general formulation as a special example. This special nonlocal vector calculus is used to reformulate the peridynamics equation of motion in terms of the nonlocal gradient operator and its adjoint. A new example of nonlocal vector calculus operators is introduced, which shows the potential use of the general formulation for general nonlocal models.

연구 동기 및 목표

• 특정 모델(예: 페리다이내믹스 또는 비국소 확산)에 종속되지 않는 비국소 벡터 미적분의 일반적인 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 비국소 적분 연산자가 고전적 미분 연산자와 유사하게 작동하기 위해 필요한 구조적 조건과 커널 조건을 규명하는 것.
• 기존의 비국소 연산자(예: 발산, 기울기 등)를 하나의 일관된 미적분 프레임워크로 통합하고 일반화하는 것.
• 일반화된 연산자를 사용하여 페리다이내믹스 운동 방정식을 재구성함으로써 더 단순하고 해석이 용이한 구조를 드러내는 것.

제안 방법

• 영역에서의 비국소 발산을 커널이 만족하는 질량 제로 조건 ∫κ(x,y,z) dx = 0 a.e. for y,z 를 갖는 적분 연산자로 공식화하는 것.
• 대칭 커널 함수 α(x,y) 를 통해 비국소 기울기와 그 수반 연산자를 정의함으로써, 반대칭성과 고전적 극한과의 일致성을 확보하는 것.
• 커널 기반의 연산자 정의를 바탕으로 일반적인 비국소 부분적분 공식과 그린 항등식을 도출하는 것.
• 특정 커널 형태를 선택함으로써 [2]의 비국소 벡터 미적분이 일반화된 프레임워크의 특수한 경우임을 보여주는 것.
• 이중 적분 커널 λ(x,z) 를 사용한 새로운 비국소 벡터 미적분 예시를 제안하여, 점 간의 상호작용을 초월해 이웃 영역의 가중 평균에 따라 유속 기여를 허용하는 것.
• 고전적 페리다이내믹스 연산자를 L u = -G_α(c₁ G_α* u) - G_α(c₂ G̅_α* u) 로 재기록함으로써, 고전적 탄성 이론의 나비에 연산자와 유사한 형태를 드러내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페리다이내믹스나 비국소 확산과 같은 특정 비국소 모델에 종속되지 않는 일반적인 비국소 미적분을 제안할 수 있는가?
• RQ2 비국소 발산 연산자가 잘 정의되고 고전적 발산과 극한에서 일致하기 위해 커널 κ(x,y,z) 가 만족해야 할 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ3 [2]에서 제시된 특정 연산자 외의 비국소 부분적분 및 그린 항등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 비국소 미적분 프레임워크를 사용하여 페리다이내믹스 연산자를 더 단순하게 표현할 수 있는가?
• RQ5 특정 점의 기여가 단지 점 대 점 상호작용이 아니라 이웃 영역의 가중 평균에 의존할 경우, 비국소 유속의 물리적 및 수학적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 비국소 미적분 프레임워크는 모든 비국소 연산자가 특정 커널 함수를 가진 적분 연산자로 표현될 수 있도록 통합적인 설정을 제공한다.
• 커널 α(x,y) 가 반대칭이면서 필요한 대칭성과 질량 제로 조건을 만족할 경우, [2]의 비국소 발산 및 기울기 연산자가 특수한 경우로 복원됨을 보였다.
• 이중 적분 커널 λ(x,z) 를 사용한 새로운 비국소 벡터 미적분이 도입되었으며, 이는 점 간의 상호작용을 초월해 이웃 영역의 기여를 허용한다.
• 페리다이내믹스 연산자 L 는 더 단순하고 해석이 용이한 형태로 표현되며, L u = -G_α(c₁ G_α* u) - G_α(c₂ G̅_α* u) 로 나타나며, 여기서 G̅_α* 는 평균화된 수반 기울기 연산자이다.
• 일반화된 프레임워크를 통해 비국소 설정에서 부분적분 및 그린 항등식을 엄밀하게 유도할 수 있으며, 이는 비국소 PDE 분석을 가능하게 한다.
• 상호작용 범위 ε_α → 0 의 극한에서 일반화된 비국소 발산은 고전적 국소 발산 연산자로 수렴함을 확인하여, 고전적 미적분과의 일致성을 입증하였다.