[논문 리뷰] A Generalized Quantum Inner Product and Applications to Financial Engineering

Vanio Markov, Charlee Stefanski외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자 진폭 및 상태 인코딩을 활용하여 이산 함수의 가중합을 효율적으로 계산할 수 있는 일반화된 양자 내적 프레임워크를 제안한다. 이는 가치의 위험(VaR), 기대값 및 부분 모멘트와 같은 금융 리스크 지표를 신속하게 계산할 수 있게 하며, 간섭과 얽힘을 통해 주요 금융 공학 작업에 양자 가속을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper we present a canonical quantum computing method to estimate the weighted sum w(k)f(k) of the values taken by a discrete function f and real weights w(k). The canonical aspect of the method comes from relying on a single linear function encoded in the amplitudes of a quantum state, and using register entangling to encode the function f. We further expand this framework by mapping function values to hashes in order to estimate weighted sums w(k)h(f(k)) of hashed function values with real hashes h. This generalization allows the computation of restricted weighted sums such as value at risk, comparators, as well as Lebesgue integrals and partial moments of statistical distributions. We also introduce essential building blocks such as efficient encodings of standardized linear quantum states and normal distributions.

연구 동기 및 목표

• 금융 공학 응용에 핵심적인 이산 함수의 가중합을 추정하기 위한 표준 양자 방법을 개발하기 위해.
• 진폭 및 상태 인코딩을 결합하여 일반화된 양자 내적을 제안하여 VaR 및 부분 모멘트와 같은 복잡한 금융 지표를 계산하기 위해.
• 표준화된 재사용 가능한 양자 빌딩 블록을 제공하여 일반 분포(예: 정규분포, 상승코사인 분포) 및 함수(예: 선형, 항등함수)를 위해.
• 유니터리 인코딩과 간섭을 사용하여 기대값 및 리스크 측도의 효율적 양자 계산을 가능하게 하기 위해.
• 실제 IBM Quantum 하드웨어에서 오류 내성 구현을 통해 타당성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 등록자 연결 및 진폭 인코딩을 사용하여 이산 함수 $ f: \{0, \dots, 2^n - 1\} \to \{0, \dots, 2^m - 1\} $ 를 인코딩하여, 진폭이 가중치 $ w_k $ 를 나타내는 초위상 상태를 형성한다.
• 일반화된 내적은 $ \sum_{k=0}^{2^n - 1} w_k f(k) $ 로 정의되며, 간섭과 제어 회전을 통해 계산되어 기대값 및 리스크 지표의 추정을 가능하게 한다.
• 프레임워크는 해시된 함수 값 $ \sum w_k h_{f(k)} $ 로 확장되어, 비교자 및 집중도 지표(예: 음수 함수 값의 수)의 계산을 가능하게 한다.
• 선형 함수 $ L_n $, 항등함수, 표준화된 분포(예: 정규분포, 상승코사인)를 위한 표준 회로를 도입하며, 이는 역 QFT 및 단계 기울기 상태를 사용한다.
• 기하급수적 순서 상태 $ \ket{\gamma_\theta} $ 는 연속된 단계 게이트를 통해 준비되어 주기적 진폭을 인코딩하여 양자 푸리에 변환 및 단계 추정에 사용된다.
• QFT 기반 상태 준비 및 진폭 강화를 사용하여 정규분포의 정확하고 근사 인코딩을 제공하며, IBM Q 하드웨어에서의 오차 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진폭 및 상태 인코딩을 모두 사용하여 이산 함수의 가중합을 효율적으로 계산할 수 있는 일반화된 양자 내적을 구성할 수 있는가?
• RQ2 양자 간섭과 얽힘은 가치의 위험(VaR) 및 부분 모멘트와 같은 금융 리스크 지표를 추정하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 정규분포 및 상승코사인 분포와 같은 표준화된 분포를 인코딩하기 위한 가장 효율적인 양자 회로 구현은 무엇인가?
• RQ4 선형 함수 및 항등함수를 위한 표준 양자 회로는 금융 모델에서 기대값 계산을 위한 유니버설 빌딩 블록으로 사용될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 현실적인 노이즈와 읽기 오차를 고려한 근접한 양자 하드웨어에서 어느 정도로 실행될 수 있는가?

주요 결과

• IBM의 ibmq_jakarta에서 정규분포 하의 선형 함수 기대값이 $ \ket{0} $ 진폭 0.57378로 추정되었으며, 시뮬레이션 값 0.60131에 매우 가까웠고, 읽기 오차는 2.79%였다.
• 세 큐비트 실험에서 4.07%의 읽기 할당 오차를 기록했으며, 결과 확률 분포는 시뮬레이션 결과와 매우 유사했다.
• 일반화된 내적 프레임워크는 반복적 또는 히우리스틱 접근을 피하기 위해 표준 출력 선택을 통해 가치의 위험(VaR)을 직접 계산할 수 있도록 한다.
• 정규분포 및 상승코사인 분포의 정확하고 근사 인코딩을 위한 효율적인 회로가 개발되었고, 프레임워크 내에서 검증되었다.
• L_n 와 역 QFT를 사용한 선형 함수 인코딩 표준 방법은 선형 함수 외에도 임의의 이산 함수에 대해 기대값을 정확하게 추정할 수 있도록 한다.
• 함수 값이 해시 기반 가중합으로 매핑되어 르베그 적분 및 부분 모멘트의 효율적 계산을 지원한다.