[논문 리뷰] A generic $C^1$ map has no absolutely continuous invariant probability measure

Artur Avila, Jairo Bochi|2006. 05. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 컴acts한 다중다양체 위의 일반적인 $C^1$ 매핑에서 절대 연속 불변 확률측도(acyim)가 존재하지 않음을 증명한다. 비불변 측도에 대한 일반화된 Rokhlin 유형의 보조정리와 주어진 주기점의 역상 근처에서 선형 근사에 기반한 변형 기법을 사용하여, 이러한 매핑을 acim의 부재를 암시하는 기준을 만족하도록 변형시킬 수 있음을 보이며, 이로써 $C^1$ 위상에서 acim를 갖지 않는 $C^1$ 매핑의 집합이 잔여집합임을 입증한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth compact manifold (maybe with boundary, maybe disconnected) of any dimension $d \ge 1$. We consider the set of $C^1$ maps $f:M o M$ which have no absolutely continuous (with respect to Lebesgue) invariant probability measure. We show that this is a residual (dense $G_δ) set in the $C^1$ topology. In the course of the proof, we need a generalization of the usual Rokhlin tower lemma to non-invariant measures. That result may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 다중다양체 위의 $C^1$ 매핑에서 절대 연속 불변 확률측도(acyim)를 갖지 않는 매핑의 집합이 $C^1$ 위상에서 잔여집합임을 입증하는 것.
• 특히 확장 매핑과 미분동형사상에 대해 일반적인 $C^1$ 매핑이 acyim를 갖는지 여부를 해결하며, 원 위에서의 이전 결과를 바탕으로 한다.
• 비특이성과 비불변성의 조건을 만족하는 측도에 대해 $C^1$ 동역학의 맥락에서 Rokhlin 타워 보조정리의 비불변 형태를 개발하고 적용하는 것.
• acyim의 부재가 $C^1$ 위상에서 일반적인 성질임을 보이며, 토르스 매핑에 대한 KAM 이론과 같은 확률적 존재성과 대비한다.
• 반복된 역상의 측도를 제어함으로써 $C^1$ 매핑을 변형시켜 acyim를 피할 수 있는 일반적인 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• acyim 부재를 위한 기준 도입: 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, $m(K) > 1 - \varepsilon$ 이고 어떤 $N$에 대해 $m(f^N(K)) < \varepsilon$ 를 만족하는 컴팩트 집합 $K$ 가 존재한다.
• 비불변 측도에 대한 Rokhlin 타워 보조정리의 일반화: 측도 증가가 통제된 $N$-좋음 및 $N$-포화된 가측 집합을 구성한다.
• 비탈리 커버링 기법을 사용하여 타겟 영역 내 이산적인 상자 $U_0(y)$ 를 선택하여 $m(Q_0 \setminus \bigcup U_0(y)) \leq \varepsilon m(Q_0)$ 이 되도록 보장한다.
• 선형 사상 $H_{i,\bar{y}}$ 를 통해 국소적 변형 $h_{i,\bar{y}}$ 를 구성하여, $V_i(\bar{y})$ 의 이미지가 $k$-중 반복 후에 측도가 $< \varepsilon \cdot m(U_i(\bar{y}))$ 인 작은 상자 $W_i(\bar{y})$ 에 압축되도록 한다.
• 전역적으로 $f$ 를 $C^1$ 변형 $g$ 로 만들기 위해, $f$ 를 $U_i(\bar{y})$ 에서의 $h_{i,\bar{y}}$ 와 복합시키며, 이 집합 외부에서는 $g = f$ 로 유지한다.
• 변형된 매핑 $g$ 가 $m(M \setminus K) < 4\varepsilon$ 와 $m(g^k K) < \varepsilon$ 를 만족함을 확인함으로써, $g$ 가 잔여집합 $\mathcal{V}_{4\varepsilon}$ 에 속함을 보이며, acyim 부재의 일반성임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 다중다양체 위의 $C^1$ 매핑에서 acyim를 갖지 않는 매핑의 집합은 $C^1$ 위상에서 잔여집합인가?
• RQ2 불변성이 없는 조건에서 반복된 반복에 따른 측도 증가를 제어하기 위해 비불변 Rokhlin 보조정리의 형태를 구성할 수 있는가?
• RQ3 acyim의 부재는 $C^1$ 확장 매핑과 $C^1$ 미분동형사상에 대해 일반적으로 유지되는가?
• RQ4 주기점의 역상 근처에서의 국소적 변형이 전역적으로 반복된 이미지의 측도를 제어하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 $C^1$ 위상에서 acyim의 부재는 일반적인 위상적 성질인가, 비록 KAM 이론에 의한 토르스 매핑의 경우 확률적으로 존재할 수 있음에도 불구하고?

주요 결과

• acyim를 갖지 않는 $C^1$ 매핑의 집합 $\mathcal{R}$ 는 $C^1(M,M)$ 의 조밀한 $G_\delta$ 부분집합이므로, 잔여집합이다.
• 모든 $C^1$-일반적인 확장 매핑은 acyim를 갖지 않으며, 원 위에서의 이전 결과를 고차원으로 확장한다.
• 모든 $C^1$-일반적인 미분동형사상은 acyim를 갖지 않으며, 이는 acyim가 $C^1$ 범주에서 일반적인 성질이 아님을 보여준다.
• 증명은 $m(M \setminus K) < 4\varepsilon$ 와 $m(g^k K) < \varepsilon$ 를 만족하는 매핑 $g$ 를 구성함으로써, acyim 부재 기준을 충족함을 보였다.
• 일반화된 Rokhlin 보조정리(정리 2)는 서로소인 반복된 역상, 통제된 총 측도 합, 비불변 성격을 가진 가측 집합 $U$ 의 존재를 보장한다.
• 변형 기법은 국소적 선형 근사와 비탈리 커버링을 기반으로 하며, $C^1$-근접성과 측도 제어를 보장한다. 모든 $i$, $\bar{y}$ 에 대해 $m(W_i(\bar{y}))/m(U_i(\bar{y}))) < \varepsilon$ 이다.