[논문 리뷰] A generic finite element framework on parallel tree-based adaptive meshes

Santiago Badia, Alberto F. Martı́n외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 23인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 나무 기반의 적응 메시를 사용한 h-적응 시뮬레이션을 위한 형식적으로 검증된, 병렬 처리가 가능한 분산 메모리 유한요소 프레임워크를 제시한다. 이 프레임워크는 경량의 삼진수림 구조를 통한 메시 관리와 풍부한, 일치하는 유한요소 호환 메시 레이어로 구성된 이중 레이어 메시 표현 방식을 사용한다. 프레임워크는 매달린 노드 제약 조건과 병렬 어셈블리의 정확성을 철저한 수학적 증명을 통해 보장하며, 32,200개의 코어까지 강력한 스케일링 성능을 달성하고, 적응형 포아송 및 맥스웰 문제에서 deal.II보다 2~3배 빠른 성능 향상을 이룬다.

ABSTRACT

In this work we formally derive and prove the correctness of the algorithms and data structures in a parallel, distributed-memory, generic finite element framework that supports h-adaptivity on computational domains represented as forest-of-trees. The framework is grounded on a rich representation of the adaptive mesh suitable for generic finite elements that is built on top of a low-level, light-weight forest-of-trees data structure handled by a specialized, highly parallel adaptive meshing engine, for which we have identified the requirements it must fulfill to be coupled into our framework. Atop this two-layered mesh representation, we build the rest of data structures required for the numerical integration and assembly of the discrete system of linear equations. We consider algorithms that are suitable for both subassembled and fully-assembled distributed data layouts of linear system matrices. The proposed framework has been implemented within the FEMPAR scientific software library, using p4est as a practical forest-of-octrees demonstrator. A strong scaling study of this implementation when applied to Poisson and Maxwell problems reveals remarkable scalability up to 32.2K CPU cores and 482.2M degrees of freedom. Besides, a comparative performance study of FEMPAR and the state-of-the-art deal.ii finite element software shows at least comparative performance, and at most factor 2-3 improvements in the h-adaptive approximation of a Poisson problem with first- and second-order Lagrangian finite elements, respectively.

연구 동기 및 목표

• 나무 기반의 적응 메시에서 병렬 h-적응 시뮬레이션을 위한 일반적이고 확장 가능하며 정확한 유한요소 프레임워크를 개발하는 것.
• 분산 메모리 환경에서 매달린 노드와 제약 조건을 처리하는 병렬 알고리즘의 정확성을 형식적으로 증명하는 것.
• 이중 레이어 메시 추상화를 통해 적응형 비일치 메시에서 선형 시스템의 효율적이고 확장 가능한 어셈블리 구현을 가능하게 하는 것.
• 모듈러하고 확장 가능한 소프트웨어 설계를 통해 대규모 문제에서 높은 성능과 강력한 스케일링 성능을 달성하는 것.
• 통합된 프레임워크 내에서 다양한 셀 위상, 메시 세분화 규칙, 유한요소 유형을 지원할 수 있는 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 이중 레이어 메시 추상화를 사용: 저수준에서 경량의 삼진수림 구조(p4est를 통해)를 통한 메시 관리와 고수준에서 일치하는 메시 표현을 통한 유한요소 연산.
• 공간을 채우는 곡선(SFC), 특히 모터턴 인덱스를 사용하여 적응형 트리 메시에서 효율적인 순회, 분할, 이웃 찾기를 가능하게 한다.
• 메시 데이터 구조와 알고리즘을 수학적 명제와 증명을 통해 형식화하여, 매달린 노드 제약 조건과 가짜 셀 의존성의 정확성을 보장한다.
• 겹치지 않는 도메인 분할 솔버를 지원하기 위해 부분 어셈블리 및 완전 어셈블리 행렬 레이아웃을 모두 고려한 데이터 구조와 알고리즘을 설계한다.
• p4est를 삼진수림 엔진으로 사용하여 FEMPAR 라이브러리 내부에 프레임워크를 구현한다.
• 모든 매달린 자유도 제약 조건이 단일 레이어의 가짜 셀만을 사용해 국소적으로 계산되도록 보장하며, 의존성 국소성에 대한 엄밀한 증명을 통해 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 레이어의 가짜 셀만을 사용하는 분산 메모리 환경에서, 매달린 노드 제약 조건이 어떻게 정확하게 계산될 수 있는가?
• RQ2 어떻게 일반적인 유한요소 프레임워크를 설계하여 나무 기반의 적응 메시에서 임의의 셀 위상과 세분화 규칙을 지원하면서도 정확성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 적응형 비일치 메시에서 프로세서 경계를 넘는 제약 조건 의존성의 국소성에 대해 어떤 수학적 보장을 제공할 수 있는가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 어떻게 최신 기술 수준의 유한요소 소프트웨어인 deal.II와 비교해 강력한 스케일링 성능과 경쟁력 있는 성능을 달성하는가?
• RQ5 제약 조건 의존성이 단일 레이어의 가짜 셀 경계를 초과하지 않도록 하기 위해 메시 세분화 및 균형 조건에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 프레임워크는 포아송 및 맥스웰 문제에서 최대 32,200개의 CPU 코어와 4억 8,200만 개의 자유도를 활용하여 강력한 스케일링 성능을 달성했다.
• FEMPAR 내의 구현은 1차 및 2차 라그랑주 유한요소를 사용한 h-적응 해법에서 deal.II와 비교해 최소 동등하거나 최대 2~3배 빠른 성능 향상을 보였다.
• 수학적 증명을 통해 2:1 k-균형 메시와 단일 레이어 가짜 셀을 사용할 경우 매달린 노드 제약 조건이 국소적으로 접근 가능한 자유도에만 의존한다는 것을 형식적으로 입증했다.
• 2:1 k-균형 조건 하에서 제약 조건 의존성이 단일 레이어 가짜 셀 경계를 초과하지 않음을 증명함으로써 병렬 어셈블리의 정확성을 보장했다.
• 저수준 메시 관리와 고수준 유한요소 데이터 구조를 분리한 이중 레이어 메시 추상화 방식은 일반성, 정확성, 고성능을 동시에 달성한다.
• 이론적 기반과 t8code 및 FEMPAR 내의 구현을 통해 임의의 다각형 셀과 세분화 규칙으로의 확장이 가능함을 입증했다.