[논문 리뷰] A geometric approach to quantum circuit lower bounds

Michael A. Nielsen|ArXiv.org|2005. 02. 11.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics인용 수 49

한 줄 요약

이 논문은 Finsler 미터릭을 사용하여 SU(2ⁿ) 다양체 위의 지오데식선으로 양자 회로를 모델링함으로써, 양자 회로의 하한을 증명하기 위한 기하적 프레임워크를 제안한다. 최소 회로 크기는 항등원에서 목표 유니터리로의 가장 짧은 지오데식의 길이로 하한이 정해지며, 이는 Pauli 지오데식—지오데식 방정식의 해—로 표현되며, 대각 유니터리에 대해 최적임이 입증되며, 대부분의 경우 지수적으로 긴 회로가 필요함을 보여준다.

ABSTRACT

What is the minimal size quantum circuit required to exactly implement a specified n-qubit unitary operation, U, without the use of ancilla qubits? We show that a lower bound on the minimal size is provided by the length of the minimal geodesic between U and the identity, I, where length is defined by a suitable Finsler metric on SU(2^n). The geodesic curves of such a metric have the striking property that once an initial position and velocity are set, the remainder of the geodesic is completely determined by a second order differential equation known as the geodesic equation. This is in contrast with the usual case in circuit design, either classical or quantum, where being given part of an optimal circuit does not obviously assist in the design of the rest of the circuit. Geodesic analysis thus offers a potentially powerful approach to the problem of proving quantum circuit lower bounds. In this paper we construct several Finsler metrics whose minimal length geodesics provide lower bounds on quantum circuit size, and give a procedure to compute the corresponding geodesic equation. We also construct a large class of solutions to the geodesic equation, which we call Pauli geodesics, since they arise from isometries generated by the Pauli group. For any unitary U diagonal in the computational basis, we show that: (a) provided the minimal length geodesic is unique, it must be a Pauli geodesic; (b) finding the length of the minimal Pauli geodesic passing from I to U is equivalent to solving an exponential size instance of the closest vector in a lattice problem (CVP); and (c) all but a doubly exponentially small fraction of such unitaries have minimal Pauli geodesics of exponential length.

연구 동기 및 목표

• 아니면 앤시리아 큐비트 없이도 양자 회로 크기의 하한을 증명하기 위한 일반적인 기하적 프레임워크를 수립하는 것.
• 양자 회로 합성의 이산 문제를 다양체 SU(2ⁿ) 위의 연속 최적화 문제로 재구성하는 것.
• 특히 지오데식선과 Finsler 미터릭을 활용하여, 유니터리를 구현하기 위해 필요한 게이트 수의 하한을 도출하는 것.
• 계산 기저에서 대각 유니터리에 대해 최적임이 입증되는 지오데식선의 일종인 Pauli 지오데식선을 식별하고 특성화하는 것.
• 대부분의 대각 유니터리에 대해 최소 회로 크기가 지수적으로 크다는 것을, 격자 기반 복잡도 결과를 활용하여 보여주는 것.

제안 방법

• SU(2ⁿ) 위에 Finsler 미터릭을 정의하여 곡선의 길이 개념을 도입하며, 이 길이가 회로 비용에 대응하도록 한다.
• 지오데식 방정식(이阶 미분방정식)을 사용하여 항등원에서 목표 유니터리 U로 가는 최소 길이 곡선을 특성화한다.
• 최소 지오데식선이 회로 크기의 하한을 제공하는 여러 Finsler 미터릭을 구성하며, 그 지오데식 방정식을 계산하는 명시적 절차를 제공한다.
• 파울리 군의 등장사상으로 생성된 지오데식 방정식의 해로서 Pauli 지오데식선을 도입한다.
• Roth의 보조정리와 벡터화 기법(vec 및 unvec)을 적용하여 초연산자(superoperator)를 분석하고, 수식적으로 변환된 수식 형태의 수반 작용을 유도한다.
• 최소 Pauli 지오데식선을 찾는 문제를, NP-난이도 문제로 알려진 격자 내 최근접 벡터 문제(CVP)의 한 예로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SU(2ⁿ) 위의 기하적 구조를 사용하여, 유니터리 U를 구현하기 위한 최소 양자 회로 크기를 하한으로 제시할 수 있는가?
• RQ2 SU(2ⁿ) 위의 최소 지오데식선이 유일한 조건은 무엇이며, 언제 Pauli 지오데식선이 되는가?
• RQ3 대각 유니터리에 대해 최소 회로 크기를 계산하는 문제는 CVP와 같은 어려운 격자 문제와 동치인가?
• RQ4 일반적인 대각 유니터리의 회로 크기는 얼마나 큰가? 그리고 이러한 유니터리 중 얼마나 큰 비율이 지수적으로 긴 회로를 요구하는가?
• RQ5 지오데식 접근법은 기존의 회로 합성 기법으로는 접근할 수 없는 체계적인 하한을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 유니터리 U에 대한 최소 양자 회로 크기는 SU(2ⁿ) 위의 Finsler 미터릭에서 항등원 I에서 U로 가는 가장 짧은 지오데식선의 길이로 하한이 정해진다.
• 계산 기저에서 대각 유니터리에 대해 최소 지오데식선이 유일할 경우, 반드시 Pauli 지오데식선이 된다.
• I에서 U로 가는 최소 Pauli 지오데식선 길이를 찾는 것은 지수 크기의 CVP 문제를 해결하는 것과 동치이다.
• n 큐비트에 대한 대각 유니터리 중 이중 지수적으로 작은 비율 이외의 모든 유니터리가 지수 길이의 최소 Pauli 지오데식선을 요구하며, 이는 지수적 회로 크기를 의미한다.
• 지오데식 접근법은 이산적 회로 탐색이 실패하는 경우에도 하한을 도출할 수 있는 연속적이고 부드러운 최적화 프레임워크를 제공한다.
• 특히 Roth의 보조정리를 통한 초연산자의 벡터화 형태는, 변환된 수반 작용과 지오데식 방정식을 계산적으로 다룰 수 있는 방식으로 도출할 수 있다.