[논문 리뷰] A Geometric Approach to Solve Fuzzy Linear Systems

Nizami Gasilov, Şahin Emrah Amrahov외 3명|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 21.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 16인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 계수 행렬이 정수이고 우변이 삼각형 퍼지 수로 표현되는 퍼지 선형계(Fuzzy Linear System, FLS)를 해결하기 위한 기하학적 방법을 제안한다. 퍼지 벡터를 n차원 직육면체로 모델링하고 선형 변환을 적용함으로써, 해 집합을 실수 벡터의 퍼지 집합으로 계산한다. 이는 해가 퍼지 수로 존재할 수 있는 기하학적 근거를 제공하며, 특히 계수 행렬이 일반화된 순열 행렬인 경우에 특히 유용하다.

ABSTRACT

In this paper, linear systems with a crisp real coefficient matrix and with a vector of fuzzy triangular numbers on the right-hand side are studied. A new method, which is based on the geometric representations of linear transformations, is proposed to find solutions. The method uses the fact that a vector of fuzzy triangular numbers forms a rectangular prism in n-dimensional space and that the image of a parallelepiped is also a parallelepiped under a linear transformation. The suggested method clarifies why in general case different approaches do not generate solutions as fuzzy numbers. It is geometrically proved that if the coefficient matrix is a generalized permutation matrix, then the solution of a fuzzy linear system (FLS) is a vector of fuzzy numbers irrespective of the vector on the right-hand side. The most important difference between this and previous papers on FLS is that the solution is sought as a fuzzy set of vectors (with real components) rather than a vector of fuzzy numbers. Each vector in the solution set solves the given FLS with a certain possibility. The suggested method can also be applied in the case when the right-hand side is a vector of fuzzy numbers in parametric form. However, in this case, -cuts of the solution can not be determined by geometric similarity and additional computations are needed.

연구 동기 및 목표

• 일반 조건에서 퍼지 수 해를 생성하지 못하는 기존의 퍼지 선형계(FLS) 해법의 일관성 문제를 해결하기 위해.
• 일반적인 경우에 다양한 접근 방식이 퍼지 수 해를 도출하지 못하는 이유를 기하학적 직관을 통해 명확히 하기 위해.
• 해가 퍼지 수의 벡터가 아니라 실수 벡터의 퍼지 집합이 되는 새로운 해 프레임워크를 제안하기 위해.
• 퍼지 선형계의 해가 반드시 퍼지 수의 벡터가 되는 조건을 설정하기 위해.
• 우변이 표준 삼각형 퍼지 수가 아닌 매개변수 형태로 주어진 경우에도 방법을 확장하기 위해(다만 계산 비용이 증가함).

제안 방법

• 삼각형 퍼지 수의 벡터를 n차원 공간 내의 직육면체로 모델링한다.
• 계수 행렬에 대한 선형 변환 이론을 적용하여 이 직육면체의 상(image)을 계산함으로써 변환된 평행육면체를 도출한다.
• 해는 특정 가능성 수준으로 FLS를 만족하는 모든 실수 벡터의 집합으로 정의되며, 이는 퍼지 집합을 이룬다.
• 기하학적 성질을 활용함: 선형 변환에 의해 평행육면체의 상은 다시 평행육면체가 된다.
• 매개변수 형태의 퍼지 우변이 있는 경우, 기하학적 유사성이 더 이상 성립하지 않기 때문에 -컷을 수치적 적분 또는 샘플링을 통해 계산한다.
• 계수 행렬이 일반화된 순열 행렬인 경우, 이 방법은 해가 반드시 퍼지 수의 벡터가 되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퍼지 선형계(FLS)가 퍼지 수의 벡터로 해를 갖는 조건은 무엇인가? (실수 벡터의 퍼지 집합이 아닌 경우)
• RQ2 기존의 FLS 해법이 일반적인 경우 퍼지 수 해를 도출하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 퍼지 수의 기하학적 구조(직육면체로서의 표현)를 어떻게 활용하여 FLS의 해 집합을 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 계수 행렬의 구조, 특히 일반화된 순열 행렬인 경우가 퍼지 수 해를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 우변이 표준 삼각형 퍼지 수가 아닌 매개변수 형태로 주어질 경우, 방법을 어떻게 수정할 수 있는가?

주요 결과

• 계수 행렬이 일반화된 순열 행렬인 경우에만 퍼지 선형계의 해가 퍼지 수의 벡터임을 기하학적으로 증명된다.
• 이 방법은 이전 접근 방식이 일반적인 경우 퍼지 수 해를 도출하지 못하는 이유를 명확한 기하학적 해석을 통해 제공한다.
• 해는 실수 벡터의 퍼지 집합으로 정의되며, 각 벡터는 특정 가능성 수준으로 시스템을 만족한다.
• 우변이 매개변수 형태일 경우, 기하학적 유사성에 의해 -컷을 결정할 수 없으며 추가 계산이 필요하다.
• 이 방법은 표준 삼각형 퍼지 수보다 계산 복잡도가 높지만, 매개변수 형태의 퍼지 수로도 성공적으로 확장된다.
• 이론적 분석과 기하학적 추론을 통해 방법의 일관성과 정확성을 검증하였으며, 해 표현 방식이 타당함을 입증하였다.