[논문 리뷰] A geometric approach to solve time dependent and dissipative Hamiltonian systems

Manuel de León, Cristina Sardón|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 05.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 각각 시간에 의존하는 시스템과 소산 시스템에 대해 코심플렉틱 기하학과 콘택트 기하학을 사용하여 기하학적 해밀턴–자비 이론을 개발한다. 두 경우 모두 명시적인 해밀턴–자비 방정식을 유도하며, 이는 윈터니츠–스모로딘스키 진동자와 감쇠된 조화 진동자에 대한 응용을 보여주며, 리 군 이론과 레전드르 부분다양체 조건을 통해 해를 구할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we apply the geometric Hamilton--Jacobi theory to obtain solutions of Hamiltonian systems in Classical Mechanics, that are either compatible with a cosymplectic or a contact structure. As it is well known, the first structure plays a central role in the theory of time-dependent Hamiltonians, whilst the second is here used to treat classical Hamiltonians including dissipation terms. On the other hand, the interest of a geometric Hamilton--Jacobi equation is the primordial observation that a Hamiltonian vector field $X_{H}$ can be projected into the configuration manifold by means of a 1-form $dW$, then the integral curves of the projected vector field $X_{H}^{dW}$can be transformed into integral curves of $X_{H}$ provided that $W$ is a solution of the Hamilton--Jacobi equation. In this way, we use the geometric Hamilton--Jacobi theory to derive solutions of physical systems with a Hamiltonian formulation. A new expression for a geometric Hamilton Jacobi equation is obtained for time dependent Hamiltonians described with the aid of a cosymplectic structure. Then, another expression for the Hamilton Jacobi equation is retrieved for Hamiltonians with frictional terms described through contact geometry. Both approaches shall be applied to physical examples.

연구 동기 및 목표

• 코심플렉틱 기하학을 사용하여 기하학적 해밀턴–자비 이론을 시간에 의존하는 해밀턴 시스템으로 확장한다.
• 콘택트 기하학을 사용하여 마찰 항이 포함된 소산 시스템에 대한 기하학적 해밀턴–자비 접근법을 제시한다.
• 윈터니츠–스모로딘스키 진동자와 감쇠된 조화 진동자와 같은 물리적 시스템에 대해 명시적인 해를 제공한다.
• 해밀턴–자비 방정식의 해를 통해 투영된 벡터장의 적분 곡선과 원래 해밀턴 흐름의 적분 곡선 사이의 등가성을 수립한다.
• 레전드르 부분다양체와 닫힌 1형식이 해밀턴–자비 방정식의 해를 구성하는 데 어떻게 기여하는지 설명한다.

제안 방법

• 일차형식 η와 두차형식 Ω를 사용하여 코심플렉틱 다양체 위에서 역학을 기술하며, η ∧ Ωⁿ 이 체적 형식이 되도록 한다.
• 코심플렉틱 다양체 위에 해밀턴 벡터장 X_H 를 정의하고, 이를 1차형식 dW 를 통해 투영하여 투영된 벡터장 X_H^dW 를 얻는다.
• W 가 HJ 방정식을 만족할 때, X_H^dW 의 적분 곡선이 X_H 의 적분 곡선으로 올라가도록 하여 시간에 의존하는 시스템에 대한 기하학적 해밀턴–자비 방정식을 도출한다.
• 이론을 윈터니츠–스모로딘스키 진동자에 적용하여, 해 γ 가 밀린–피니 타입 방정식을 만족함을 보인다.
• 소산 시스템의 경우, 콘택트 형식 η 와 마찰 항 αS 를 포함한 해밀턴ian H 를 사용하여 콘택트 기하학을 적용한다.
• dγ_S = 0 를 만족하는 레전드르 단면 γ 를 구성하고, 국소 좌표계에서 HJ 방정식을 유도하여 γ 에 대한 1차 편미분방정식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코심플렉틱 구조를 사용하여 기하학적 해밀턴–자비 이론을 시간에 의존하는 해밀턴 시스템으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 콘택트 기하학으로 기술된 소산 시스템에 대한 해밀턴–자비 방정식의 형태는 무엇인가?
• RQ3 해밀턴–자비 방정식의 해를 사용하여 원래 해밀턴 벡터장의 적분 곡선을 재구성할 수 있는가?
• RQ4 콘택트 경우에서 레전드르 부분다양체 조건 dγ_S = 0 이 해 γ 에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 감쇠 진동자와 윈터니츠–스모로딘스키 시스템에 대한 해밀턴–자비 방정식의 명시적 해는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 코심플렉틱 다양체 위에서 시간에 의존하는 시스템에 대한 기하학적 해밀턴–자비 방정식을 도출하였으며, 이 해 γ 는 리 군 이론을 통해 적분 가능한 밀린–피니 방정식을 만족한다.
• 윈터니츠–스모로딘스키 진동자에 대해 해 γ 가 명시적으로 계산되었으며, 상수 c₁ 과 c₂ 에 따라 달라지며, 판별식 c₁² > 2c₂ 또는 c₂ > c₁²/2 에 따라 서로 다른 형태를 가진다.
• 소산 경우, 조건 dγ_S = 0 하에 해밀턴–자비 방정식은 첫째도 편미분방정식 (p²/2m − V(q) − αS)∂γ/∂S + (p/m)∂γ/∂q + (αp + V′(q)) = 0 으로 유도된다.
• 감쇠 진동자의 해는 역(trigonometric) 및 로그 함수로 표현되며, p = γ 이고 상수 c₁ = αm, c₂ = −m(V(q) − V′(q) + mαS) 로 주어진다.
• 이론은 투영된 벡터장 X_H^γ 의 적분 곡선이 X_H 의 적분 곡선으로 올라가기 위한 조건이 W 가 기하학적 해밀턴–자비 방정식을 만족할 때이고 그 때에만 성립함을 수립한다.
• 이 방법은 시간 의존성과 소산을 포함하는 물리적 시스템에 성공적으로 적용되었으며, 기하학적 구조(코심플렉틱/콘택트)가 비표준 설정에서 HJ 방정식을 해결하는 데 자연스러운 프레임워크를 제공함을 보여준다.