[논문 리뷰] A geometric inequality for warped product semi-slant submanifolds of nearly cosymplectic manifolds

Siraj Uddin, Abdulqader Mustafa외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 거의 코스미플렉틱 다양체에서 형태 $N_T \times_f N_\theta$ 의 워프드 프로덕트 반-슬랜트 부분다양체에 대해 날카로운 기하 부등식을 수립한다. 이 부등식은 불변 부분 $N_T$ 가 완전히 지오데식이고 슬랜트 부분 $N_\theta$ 가 완전히 융합적일 때 이러한 부분다양체가 존재함을 증명한다. 핵심 결과는 제2 기본형의 제곱 노름에 대한 하한을 제시하는 것으로, $\|h\|^2 \geq 4q\csc^2\theta\left(1 + \frac{1}{9}\cos^2\theta\right)\|\nabla\ln f\|^2$ 이며, 등호가 성립하는 것은 오직 $N_T$ 가 완전히 지오데릭이고 $N_\theta$ 가 환경에서 완전히 융합적일 때에만이다.

ABSTRACT

Recently, we have shown that there do not exist the warped product semi-slant submanifolds of cosymplectic manifolds [10]. As nearly cosymplectic structure generalizes cosymplectic ones same as nearly Kaehler generalizes Kaehler structure in almost Hermitian setting. It is interesting that the warped product semi-slant submanifolds exist in nearly cosymplectic case while in case of cosymplectic do not exist. In the beginning, we prove some preparatory results and finally we obtain an inequality such as $\|h\|^2 \geq 4q\csc^2θ\{1+\frac{1}{9}\cos^2θ\}\| abla \ln f\|^2$ in terms of intrinsic and extrinsic invariants. The equality case is also considered.

연구 동기 및 목표

• 거의 코스미플렉틱 다양체에서 워프드 프로덕트 반-슬랜트 부분다양체의 존재성과 기하적 성질을 조사하는 것.
• 코스미플렉틱 다양체에서는 이러한 부분다양체가 존재하지 않음에도 불구하고 거의 코스미플렉틱 다양체에서는 존재함을 해결하는 것.
• 제2 기본형, 워프 함수, 슬랜트 각도를 포함한 날카로운 기하 부등식을 유도하는 것.
• 유도된 부등식의 등호 조건을 부분다양체의 기하 조건으로 특성화하는 것.

제안 방법

• 리만 연결과 형상 연산자를 이용해 제2 기본형을 표현하기 위해 가우스 및 베이징턴 공식을 사용하는 것.
• 특히 $(\bar{\nabla}_X\phi)X = 0$ 를 포함한 거의 코스미플렉틱 구조 조건을 적용하여 곡률과 법선 성분을 제약하는 것.
• 불변 분포 $\mathcal{D}$ 와 슬랜트 분포 $\mathcal{D}_\theta$ 에 대한 정규직교 기저를 구성하고, 제2 기본형을 이에 따라 분해하는 것.
• 近乎 코스미플렉틱 조건에서 유도된 관계식인 $g(h(\phi X, Z), FZ) = (X\ln f)g(Z,Z)$ 와 유사한 항등식을 사용하여 $h$ 의 성분을 $\nabla\ln f$ 로 표현하는 것.
• 정규직교 기저 위에서의 합산과 $\theta$ 와 $\csc^2\theta$ 를 포함한 삼각함수 항등식을 이용한 간소화를 통해 부등식을 도출하는 것.
• 등호 조건 분석을 위해 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = 0$, $h(\mathcal{D}_\theta, \mathcal{D}_\theta) = 0$, 그리고 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}_\theta) \subset F\mathcal{D}_\theta$ 를 도입하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코스미플렉틱 다양체에서는 존재하지 않지만 거의 코스미플렉틱 다양체에서는 형태 $N_T \times_f N_\theta$ 의 워프드 프로덕트 반-슬랜트 부분다양체가 존재하는가?
• RQ2 거의 코스미플렉틱 구조가 이러한 워프드 프로덕트의 제2 기본형에 어떤 기하적 제약을 가하는가?
• RQ3 워프 함수와 슬랜트 각도에 따라 제2 기본형의 제곱 노름에 대해 날카로운 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 유도된 기하 부등식의 등호 조건을 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ5 등호 조건은 부분다양체의 최소성과 곡률 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 날카로운 기하 부등식이 수립되었다: $\|h\|^2 \geq 4q\csc^2\theta\left(1 + \frac{1}{9}\cos^2\theta\right)\|\nabla\ln f\|^2$, 이는 거의 코스미플렉틱 다양체에서 워프드 프로덕트 반-슬랜트 부분다양체 $N_T \times_f N_\theta$ 에 대해 유효하다.
• 등호 조건은 오직 $N_T$ 가 완전히 지오데릭이고 $N_\theta$ 가 환경의 거의 코스미플렉틱 다양체에서 완전히 융합적일 때에만 성립한다.
• 등호 조건에서는 제2 기본형이 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}) = 0$, $h(\mathcal{D}_\theta, \mathcal{D}_\theta) = 0$, 그리고 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D}_\theta) \subset F\mathcal{D}_\theta$ 를 만족한다.
• 관계식 $h^\star(Z,W) = -\nabla\ln f \cdot g(Z,W)$ 를 통해 $Z,W \in \Gamma(\mathcal{D}_\theta)$ 일 때 부분다양체 $N_\theta$ 가 완전히 융합적임을 보였다.
• 등호 조건과 $h(\mathcal{D}, \mathcal{D})$ 의 영함수성에 기반하여 불변 부분다양체 $N_T$ 는 $\bar{M}$ 에서 완전히 지오데릭이다.
• 이 부등식은 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 일 때 접촉 CR-워프드 프로덕트의 이전 결과를 일반화하며, 그 특수한 경우에 알려진 하한을 복원한다.