[논문 리뷰] A geometric Jacquet-Langlands correspondence for paramodular Siegel threefolds

Pol van Hoften|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 57인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 파라모듈라르 시겔 3차원에 대해 내부 코호몰로지의 무게-단조성 추측을 증명하고, 초특이점 부분의 피카르-레프슈츠 이론을 사용하여 기하학적 자케-랑글란스 대응을 수립한다. 이는 코호몰로지 시겔 모듈라 형식에서 정수계 단위군 위의 대수적 모듈라 형식으로의 히케--equivariant 포함사상을 구성함으로써, 이부키야마의 추측을 검증하고, 정수 모노드로미 기법을 통해 GSp4 자동형표현의 레벨 낮추기 결과를 확립한다.

ABSTRACT

We study the Picard-Lefschetz formula for the Siegel modular threefold of paramodular level and prove the weight-monodromy conjecture for its middle degree inner cohomology with arbitrary automorphic coefficients. We give some applications to the Langlands programme: Using Rapoport-Zink uniformisation of the supersingular locus of the special fiber, we construct a geometric Jacquet-Langlands correspondence between $\operatorname{GSp}_4$ and a definite inner form, proving a conjecture of Ibukiyama. We also prove an integral version of the weight-monodromy conjecture and use it to deduce a level lowering result for cohomological cuspidal automorphic representations of $\operatorname{GSp}_4$.

연구 동기 및 목표

• Qp 위의 파라모듈라르 시겔 3차원의 내부 코호몰로지에 대한 무게-단조성 추측을 증명한다.
• 초특이점 부분을 이용하여 GSp4와 GSp4의 정수계 내부형 사이의 기하학적 자케-랑글란스 대응을 수립한다.
• 이부키야마의 추측, 즉 p-신 시겔 모듈라 형식에서 정수계 단위군 위의 대수적 모듈라 형식으로의 히케--equivariant 포함사상의 존재를 검증한다.
• 내부 코호몰로지에 대한 정수계 버전의 무게-단조성 추측을 확립하여, GSp4의 코호몰로지 촘필라르 자동형표현에 대한 레벨 낮추기 결과를 이끌어낸다.

제안 방법

• p에서 악성 감소를 보이는 파라모듈라르 시겔 3차원에 대해, 에탈 코호몰로지에서 피카르-레프슈츠 공식을 적용한다.
• 라포포르트-지크의 균형화를 적용하여 초특이점 부분을 G(Q)\G(Af)/(UpK2(p)) 형태의 아델릭 이중몫으로 식별한다.
• 정수계 단위군 G 위의 대수적 모듈라 형식을 이 초특이점의 유한한 점 집합 위의 함수로 식별한다.
• [30]의 코호몰로지 소멸 정리들을 활용하여, 충분히 정규적인 무게에서 H3! (XQp, V)에 대한 무게-단조성 추측을 증명한다.
• 갈루아--equivariant 분해 정리와 중간 확장들을 활용하여 내부 코호몰로지와 콪팩티피케이션된 시무라 다양체의 교차 코호몰로지 사이의 관계를 설정한다.
• 코호몰로지의 직접 합성원 및 추적 사상 결과들을 적용하여 단조성 불변성과 정수성 조건을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파라모듈라르 시겔 3차원이 Qp에서 파라모듈라르 레벨 구조를 지닐 때, 중간 차수 내부 코호몰로지에 대한 무게-단조성 추측이 성립하는가?
• RQ2 초특이점 부분을 이용하여 GSp4와 정수계 내부형 사이의 기하학적 자케-랑글란스 대응을 수립할 수 있는가?
• RQ3 이부키야마의 추측에 따르면, p-신 시겔 모듈라 형식에서 정수계 단위군 G 위의 대수적 모듈라 형식으로의 히케--equivariant 포함사상이 존재하는가?
• RQ4 내부 코호몰로지에 대한 정수계 버전의 무게-단조성 추측을 확립하여, GSp4의 코호몰로지 촐필라르 자동형표현에 대한 레벨 낮추기 결과를 이끌어낼 수 있는가?

주요 결과

• H3! (XQp, V)에 대한 무게-단조성 추측이 성립한다. 여기서 X는 파라모듈라르 시겔 3차원이고, V는 충분히 정규적인 무게의 자동형 국소계이다.
• 피카르-레프슈츠 공식을 통한 기하학적 자케-랑글란스 대응이 수립되며, 이로 인해 k ≥ 0 및 j ≥ 3일 때 Sk,j[K(p)]new에서 AGk,j[K2(p)]로의 히케--equivariant 포함사상이 유도된다.
• 이부키야마의 추측이 검증된다: p 이외의 히케 대각선에 대해, Sk,j[K(p)]new ֒→AGk,j[K2(p)] 사상은 단사적이며 히케--equivariant이다.
• 무게-단조성 추측의 정수계 보완판이 확립되어, GSp4의 코호몰로지 촐필라르 자동형표현에 대한 레벨 낮추기 결과를 이끌어낼 수 있다.
• Sk,j[K(p)]new →AGk,j[K2(p)] 사상의 상이 낮은 수준의 형식과 상수형식으로부터의 상과의 보완 부분공간임을 보였다.
• k = 0, j = 3인 경우, H4c(AH,η, Qℓ) = Qℓ(−2)이 성립하여, 사상 α의 여집합 차원 공식이 추측과 일치함을 보였다.