[논문 리뷰] A geometric proof of the existence of Whitney stratifications

V. A. Kaloshin|ArXiv.org|2000. 10. 13.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실 또는 복소 해석적 또는 대수적 공간 내의 반편의체에 대해 윌슨의 a- 및 b-정규 분할의 존재성을 기하학적으로 증명한다. 밀너의 곡선 선택 보조정리, 롤의 보조정리, 그리고 교차성 정리들을 사용하여, 탄성 평면의 극한과 임계 투영의 비정규성을 반복적으로 해결함으로써 분할을 구성하며, 특이점 집합이 더 낮은 차원의 비정규성 위치를 갖는 정규 분할을 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

A stratification of a singular set, e.g. an algebraic or analytic variety, is, roughly, a partition of it into manifolds so that these manifolds fit together "regularly". A classical theorem of Whitney says that any complex analytic set has a stratification. This result was extended by Lojasiewicz to real (semi)analytic sets. In this paper we present a short geometric proof of existence of stratifications based on Thom's transversality theorem and Milnor's curve selection lemma and not relying on difficult results of Lojasiewicz.

연구 동기 및 목표

• 실 또는 복소 해석적 또는 대수적 공간 내의 반편의체에 대해 윌슨 a- 및 b-정규 분할의 존재성을 기하학적이고 구성적인 방법으로 증명하는 것.
• 특이점의 해소나 고급 대수기하학에 의존하는 것을 제거하고, 기본적인 미분 및 기하 기법을 사용하는 것.
• 분할에서 비정규 점들의 집합이 관련된 군의 차원보다 엄밀히 낮은 차원을 갖는다는 것을 보여주는 것.
• 임계 집합과 투영 사상들을 통해 초기 분할을 윌슨-정규 분할로 개선하는 구성적 방법을 확립하는 것.

제안 방법

• 하나의 낮은 차원 군에 있는 점에 접근하는 수열을 따라 탄성 평면의 극한을 분석하기 위해 밀너의 곡선 선택 보조정리를 적용한다.
• 수직 부분공간 위로의 수직 투영의 임계점을 찾기 위해 롤의 보조정리를 사용하여, 비정규 극한점 근처에 임계점이 존재함을 보장한다.
• 교차성 정리를 활용하여 서로 다른 탄성 극한을 분리하는 가산 개의 수직 평면을 구성함으로써, 비정규성 위치의 분해를 가능하게 한다.
• 탄성 극한으로부터의 각도 편차를 측정하는 쿠 타입의 사상 $\mathcal{P}^{a(\text{resp.}b)}$를 정의하며, 정규값을 사용하여 부분군을 정의한다.
• 수직 평면을 따라 투영하는 데 대해 임계 집합 $\operatorname{Crit}(l_j, V_j)$를 구성하며, 이들이 더 낮은 차원의 반편의체임을 보여준다.
• 이 임계 부분군의 폐포를 취하고, 경계에서의 상대 내부로 새로운 군을 정의함으로써 분할을 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이점의 해소나 깊은 대수기하학에 의존하지 않고 윌슨 분할을 기하학적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 a- 또는 b-정규성에 실패하는 점들의 집합은 반드시 더 낮은 차원의 반편의체인가?
• RQ3 비정규성의 실패는 수직 부분공간 위로의 투영의 임계점들을 통해 탐지되고 해결될 수 있는가?
• RQ4 비유일한 탄성 평면 극한이 존재하면, 이에 인접한 근처에 임계점이 존재하는가?
• RQ5 임의의 초기 분할이 반복적으로 개선되어 모든 비정규성 요소들이 더 낮은 차원의 부분군에만 국한되는가?

주요 결과

• a-비정규 점들의 집합 $\operatorname{Sing}_a(V_j, V_i)$는 차원이 $\dim V_i$보다 엄밀히 낮은 반편의체이다.
• 유사하게, b-비정규 점들의 집합 $\operatorname{Sing}_b(V_j, V_i)$는 차원이 $\dim V_i$보다 엄밀히 낮은 반편의체이다.
• 비정규성 위치는 $\overline{V_j^p} \setminus V_j^p$의 폐포들의 합집합에 포함되며, 이들은 스스로 더 낮은 차원을 갖는다.
• 모든 비정규 점 $x$에 대해, $x$에 수렴하는 국소 연결 성분 내의 수열이 존재하며, 그 수열에서 탄성 평면이 다수의 극한 방향을 갖는다.
• 쿠 사상 $\mathcal{P}^{a(\text{resp.}b)}$는 개선된 군 내의 수열을 따라 양의 극한점을 갖는다. 이는 개선된 분해에서의 정규성을 보장한다.
• 이 구성은 임의의 초기 분할을 윌슨-정규 분할로 개선하며, 모든 비정규성 요소들이 엄밀히 낮은 차원의 집합에만 국한된다.