[논문 리뷰] A Gillespie algorithm for non-Markovian stochastic processes: Laplace transform approach

Naoki Masuda, Luis E. C. Rocha|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 07.

Complex Network Analysis Techniques인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완전히 단조 감소하는 생존 함수를 갖는 재생 과정을 모델링하기 위해 라플라스 변환을 사용하는 비마르코프 확률적 과정를 위한 새로운 길리스피 알고리즘을 제안한다. 이는 장수 꼬리 분포를 가진 상호작용 간격 시간을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있게 하며, 상호작용 간격 시간 간의 양의 상관관계를 정확히 포착한다. 이로 인해 실질적인 관측된 상관관계 수준에서도 전염병 전파 역학에 미치는 영향은 최소한이 된다. 알고리즘은 기존 방법보다 빠른 속도를 보이며, 정확도를 유지한다.

ABSTRACT

The Gillespie algorithm provides statistically exact methods to simulate stochastic dynamics modelled as interacting sequences of discrete events including systems of biochemical reactions or earthquakes, networks of queuing processes or spiking neurons, and epidemic and opinion formation processes on social networks. Empirically, inter-event times of various human activities, in particular human communication, and some natural phenomena are often distributed according to long-tailed distributions. The Gillespie algorithm and its extant variants either assume the Poisson process, which produces exponentially distributed inter-event times, not long-tailed distributions, assume particular functional forms for time courses of the event rate, or works for non-Poissonian renewal processes including the case of long-tailed distributions of inter-event times but at a high computational cost. In the present study, we propose an innovative Gillespie algorithm for renewal processes on the basis of the Laplace transform. It uses the fact that a class of point processes is represented as a mixture of Poisson processes with different event rates. The method allows renewal processes whose survival function of inter-event times is completely monotone functions and works faster than a recently proposed Gillespie algorithm for general renewal processes. We also propose a method to generate sequences of event times with a given distribution of inter-event times and a tunable amount of positive correlation between inter-event times. We demonstrate our algorithm with exact simulations of epidemic processes on networks. We find that positive correlation in inter-event times modulates dynamics but in a quantitatively minor way with the amount of positive correlation comparable with empirical data.

연구 동기 및 목표

• 장수 꼬리 분포를 가진 상호작용 간격 시간 분포를 갖는 비마르코프 확률적 과정를 효율적이고 통계적으로 정확하게 시뮬레이션할 수 있는 알고리즘을 개발하는 것.
• 기존 길리스피 알고리즘의 한계를 극복하기 위한 것으로, 이는 상호작용 간격 시간이 지수분포를 가정하거나 일반 재생 과정에 대해 높은 계산 비용을 수반한다는 점이다.
• 목표로 하는 균일 분포를 유지하면서 상호작용 간격 시간 간의 조절 가능한 양의 상관관계를 갖는 사건 순서의 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.
• 실제 인간 상호작용 패턴을 반영한 네트워크에서의 전염병 전파 모델링에서 이 방법의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 상호작용 간격 시간 분포의 라플라스 변환을 활용하여, 사건 발생률이 확률적으로 변하는 포아송 과정의 혼합으로 일정한 점 과정의 클래스를 표현한다.
• 완전히 단조 감소하는 생존 함수는 지수 분포의 혼합으로 표현될 수 있음을 이용하여, 혼합 비율에 대한 역변환 샘플링을 통해 정확한 샘플링을 가능하게 한다.
• 알고리즘은 먼저 혼합 분포에서 발생률을 추출한 후, 해당 발생률을 갖는 지수 분포에서 사건 발생 시간을 생성한다.
• 완전히 단조 감소하는 함수의 해석적 구조를 활용하여 라플라스 변환 역산을 통해 이전 방법의 높은 계산 비용을 피한다.
• 혼합 과정에서 연속적인 발생률 간의 의존성을 도입함으로써 상호작용 간격 시간 간의 상관관계를 생성할 수 있다.
• 다양한 상호작용 간격 시간 분포와 상관관계 구조 하에서 네트워크 상의 전염병 전파를 정확한 시뮬레이션을 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포아송 가정에 의존하지 않고, 장수 꼬리 분포를 가진 상호작용 간격 시간 분포를 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는 길리스피 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 상호작용 간격 시간 간의 양의 상관관계가 네트워크 상의 전염병 전파 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 방법이 주어진 상호작용 간격 시간 분포와 조절 가능한 상관관계를 갖는 사건 순서를 생성하면서도 통계적 정확성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 일반 재생 과정에 대해 기존 방법과 비교해 새로운 알고리즘의 계산 효율성은 어떻게 되는가?
• RQ5 실제 인간 상호작용 패턴의 상관관계가 네트워크 모델에서 전염병 전파 역학에 얼마나 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 기존 길리스피 알고리즘보다 일반 재생 과정에 대해 더 빠른 시뮬레이션 속도를 달성한다. 특히 상호작용 간격 시간의 생존 함수가 완전히 단조 감소할 경우에 더욱 두드러진다.
• 이 방법은 주어진 상호작용 간격 시간 분포와 조절 가능한 양의 상관관계를 갖는 사건 순서의 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 실제 데이터에서 관측된 상관관계 수준과 유사한 경우에도 상호작용 간격 시간 간의 양의 상관관계가 전염병 전파 역학에 영향을 미치는 것은 정량적 수준에 국한된다.
• 장수 꼬리 분포와 조절 가능한 상관관계를 조합함으로써 모델은 현실적인 인간 소통 패턴을 성공적으로 포착한다.
• 라플라스 변환 기반 접근은 비포아송 재생 과정을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는 일반적이고 계산적으로 효율적인 프레임워크를 제공한다.