[논문 리뷰] A Global Hartman-Grobman Theorem

X. Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 14.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템을 선형 시스템으로 변환하는 좌표 변환을 통해 고전적인 Hartman-Grobman 정리를 전체 안정성 영역(또는 불안정성 영역)에 대해 전역적으로 확장한다. 변환은 컷오프 함수를 포함하는 유동 적분을 이용해 정의되며, 모든 고유값이 복소 평면의 왼쪽 또는 오른쪽 반평면에 있을 경우 전역 미분동형사상이 된다.

ABSTRACT

We showed that for any bounded neighborhood of a hyperbolic equilibrium point $x_0$, there is a transformation which is locally homeomorphism, such that the system is changed into a linear system in this neighborhood. If the eigenvalues of $Df(x_0)$ are all located in the left-half complex plane, then there is a homeomorphism on the whole region of attraction such that the nonlinear system on the region of attraction is changed into a linear system under such a coordinate change.

연구 동기 및 목표

• 비선형 평형점의 국소적 Hartman-Grobman 정리를 초구형 평형점의 전역 안정성 영역 또는 불안정성 영역으로 일반화하기.
• 비선형 시스템을 선형화하는 전역 좌표 변환의 존재 조건을 설정하기.
• 모든 고유값이 왼쪽 반평면에 있을 경우 국소 미분동형사상의 한계를 극복하기 위해 안정성 영역 내에서 전역 홈오모르피즘을 구성하기.
• 흐름 적분과 매끄러운 컷오프 함수를 사용하여 동치 변환의 명시적 구성 제공하기.
• 변환 과정이 안정성 영역에서 전역 홈오모르피즘임을 증명하여 사상과 그 역사상의 가역성 및 연속성을 보장하기.

제안 방법

• 반경 M와 M+ε 사이에서 1에서 0으로 점차적으로 변하는 매끄러운 컷오프 함수 α(x)를 정의하여 비선형 항을 국소화하기.
• 비선형 벡터장 W(x)를 수정하여 국소화된 이웃 영역 N_M 내에서의 외란을 반영하는 Ŵ(x) = W(α(x)x)를 구성하기.
• 흐름 ϕ_t(x)를 사용하여 H(x)를 x + ∫₀^∞ e^{-Ps} Ŵ₁(ϕ_s(x)) ds 및 ∫_{-∞}^0 e^{-Ns} Ŵ₂(ϕ_s(x)) ds 형태의 적분으로 정의하기.
• DH(0) = I 이므로 역함수정리에 의해 원점 근처에서 H가 국소 홈오모르피즘임을 증명하기.
• H를 통해 비선형 시스템 ẋ = f(x)가 N_M 내에서 선형 시스템 ẏ = Ay로 변환됨을 도함수의 연쇄법칙 검증을 통해 보여주기.
• 흐름의 연속성과 점점 감쇠하는 안정성 조건을 이용하여 H를 전체 안정성 영역으로 전역적으로 확장하기. 이때 H가 전단사이고 연속적이며, 그 역도 연속임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 평형점의 안정성 영역 전체에 대해 고전적 Hartman-Grobman 정리를 국소 이웃 영역을 초월해 전역적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비선형 시스템의 안정성 영역에서 전역 홈오모르피즘이 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 흐름 적분과 컷오프 함수를 사용하여 전역 동치 변환 사상을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 한정된 영역 내에 다수의 평형점이 존재할 경우 변환이 전역 홈오모르피즘으로 작동하지 않는 이유는 무엇인가?
• RQ5 스펙트럼 성질(왼쪽 또는 오른쪽 반평면에 있는 고유값)이 시스템의 전역 선형화에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비선형 평형점의 임의의 유한한 이웃 영역 N_M에 대해, 비선형 시스템 ẋ = f(x)가 N_M 내에서 ẏ = Ay로 선형화되는 국소 홈오모르피즘 H가 존재한다.
• Df(0)의 모든 고유값이 복소 평면의 왼쪽 반평면에 있을 경우, 변환 H는 원점의 전체 안정성 영역에서 전역 홈오모르피즘으로 확장된다.
• 전역 동치 사상 H는 H(x) = x + ∫₀^∞ e^{-Ps} Ŵ₁(ϕ_s(x)) ds - ∫_{-∞}^0 e^{-Ns} Ŵ₂(ϕ_s(x)) ds 형태로 구성되며, 비선형 항을 국소화하기 위해 매끄러운 컷오프 함수를 사용한다.
• H는 안정성 영역에서 ℝⁿ으로의 전역 미분동형사상이며, 이로 인해 비선형 시스템이 선형화된 시스템과 위상적으로 동치임을 보장한다.
• 역사상 H⁻¹는 연속적이며, 흐름의 연속성 덕분에 H와 H⁻¹ 모두 초기 조건에 대해 연속적이다.
• 특수한 경우에 ∫₀^∞ e^{-τA}W(ϕ_τ(x)) dτ 가 수렴할 경우, 변환은 h(x) = ∫₀^∞ e^{-τA}W(ϕ_τ(x)) dτ 형태로 단순화되며, 이 경우 컷오프 함수 없이도 전역 동치를 제공한다.