[논문 리뷰] A Global Theory of Conformal Finsler Geometry

Nabil L. Youssef, S. H. Abed외 1명|ArXiv.org|2006. 10. 01.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $\widetilde{L} = e^{\sigma(x)}L$에 의한 동형 변환 하에서 기하적 대상—카르탕, 버월드, 바르텔 접속 및 그들의 곡률 텐서—간의 관계에 대해 좌표에 의존하지 않는 명시적 표현을 유도함으로써, 등각 Finsler 기하학의 전역 이론을 수립한다. 핵심 기여는 당김과 클라인-그리포네 형식론을 통합하는 포괄적이고 전역적으로 일致하는 프레임워크를 제공함으로써, 새로운 등각 불변량과 $\sigma$-불변량을 도출하는 바이며, 국소 결과는 하시구치와 마츠모토의 고전적 공식을 복원한다.

ABSTRACT

The aim of the present paper is to establish a global theory of conformal changes in Finsler geometry. Under this change, we obtain the relationships between the most important geometric objects associated to $(M,L)$ and the corresponding objects associated to $(M, ilde{L})$, $\widetilde{L}=e^{σ(x)} L$ being the Finsler conformal transformation. We have found explicit global expressions relating the two associated Cartan connections $ abla$ and $\widetilde{ abla}$, the two associated Berwald connections $D$ and $\widetilde{D}$ and the two associated Barthel connections $Γ$ and $\widetildeΓ$. The relationships between the corresponding curvature tensors have been also found. The relations thus obtained lead in turn to several interesting results. Among the results obtained, is a characterization of conformal changes, a characterization of homotheties, some conformal invariants and conformal $σ$-invariants. In addition, several useful identities have been found. Our global theory of conformal Finsler geometry is established within the Pull-back approach, making simultaneous use of the Klein-Grifone approach. This has been done via certain links we have found between both approaches (This shows that these two approaches to global Finsler geometry are not alternatives but rather complementary). Although our treatment is entirely global, the local expressions of the obtained results, when calculated, coincide with the existing classical local results.

연구 동기 및 목표

• 기존 국소 처리의 한계를 넘어서 Finsler 기하학에서의 등각 변화에 대한 전역적이고 내재된 이론을 개발하기 위해.
• 등각 변화 하에서 기본 기하 대상—카르탕, 버월드, 바르텔 접속—의 전역적 명시적 표현을 유도하기 위해.
• 등각적으로 관련된 Finsler 구조의 곡률 텐서 간의 관계를 수립하기 위해.
• 새로운 등각 불변량과 $\sigma$-불변량을 식별하고, 등각 변화와 동치변환의 기하적 특성화를 제공하기 위해.
• 새로운 연결 구조를 통해 당김과 클라인-그리포네 형식론을 통합하여, 더 강력한 전역 분석이 가능한 일致하는 Finsler 기하학의 전역 이론을 구축하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 주로 당김 형식론을 사용하며, 특히 카르탕 접속에 대한 중요한 관계를 도출하기 위해 클라인-그리포네 형식론을 보조적으로 활용한다.
• 등각 변화는 $\widetilde{L} = e^{\sigma(x)}L$로 정의되며, $\sigma \in \mathfrak{F}(M)$이며, 모든 주요 접속과 곡률 텐서의 변환 법칙을 유도한다.
• 표준 스프레이는 $\tilde{G}^h = G^h - B^h$로 유도되며, 여기서 $B^h = (E g^{hj} - y^h y^j) \sigma_j$로 정의되어 등각 인자 $\sigma$와 연결된다.
• 바르텔 접속은 $\tilde{G}^h_j = G^h_j - B^h_j$로 변환되며, $B^h_j$는 $B^h$의 방향 도함수와 Finsler 계량의 크리스토펠 기호를 포함한다.
• 곡률 텐서는 명시적 보정 항을 통해 변환되며, $\tilde{\Re}^h_{ij} = \Re^h_{ij} + H^h_{ij}$, $\tilde{R}^h_{kij} = R^h_{kij} + H^h_{kij}$, $\tilde{P}^h_{kij} = P^h_{kij} - V^h_{kij}$로 표현되며, $H^h_{kij}$, $V^h_{kij}$, $H^h_{ij}$는 $B^h_j$와 그 공변도함수의 형태로 정의된다.
• 버월드 접속과 그 곡률은 수평 공변도함수를 통해 유도되며, $\tilde{G}^h_{ij} = G^h_{ij} - \Psi^h_{ij}$로 표현되며, 여기서 $\Psi^h_{ij} = \dot{\partial}_j B^h_i$이며, 곡률 보정 항은 $\dot{\partial}_j B^h_{ki}$를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Finsler 기하학에서 $\widetilde{L} = e^{\sigma(x)}L$에 의한 등각 변화 하에서 카르탕, 버월드, 바르텔 접속이 어떻게 전역적으로 변하는가?
• RQ2 등각적으로 관련된 Finsler 구조의 곡률 텐서에 대한 전역적 명시적 표현은 무엇인가?
• RQ3 등각 불변량과 $\sigma$-불변량을 식별할 수 있으며, 그것들은 무엇을 특성화하는가?
• RQ4 당김과 클라인-그리포네 형식론은 어떻게 통합되어 일致하는 Finsler 기하학의 전역 이론을 도출할 수 있는가?
• RQ5 등각 변환 하에서 지오데식선과 자코비 장의 전역 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 카르탕 접속은 $\tilde{C}^h_{ij} = C^h_{ij}$로 변환되며, 관련된 접속 계수는 $\tilde{\Gamma}^h_{ij} = \Gamma^h_{ij} - U^h_{ij}$로 변환되며, 여기서 $U^h_{ij}$는 $\sigma_j$, $\sigma^h$, $C^h_{ij}$로 명시적으로 정의된다.
• 바르텔 곡률은 $\tilde{\Re}^h_{ij} = \Re^h_{ij} + H^h_{ij}$로 변환되며, 여기서 $H^h_{ij} = -\mathfrak{U}_{ij}\{ B^h_{i|j} + (B^h_{im} - P^h_{im}) B^m_j \}$이며, $P^h_{im} = C^h_{im|o}$이다.
• 카르탕 곡률 텐서 $\tilde{S}^h_{kij} = S^h_{kij}$는 등각 변화에 대해 불변이므로, 기본적인 기하학적 안정성을 나타낸다.
• 버월드 곡률 텐서 $\tilde{P}^{*h}_{\ \,kij} = P^{*h}_{\ \,kij} - V^{*h}_{\ \,kij}$이며, $V^{*h}_{\ \,kij} = \dot{\partial}_j B^h_{ki}$로 주어지며, 이는 버월드 접속의 곡률이 등각 인자의 도함수 민감성을 보임을 보여준다.
• 버월드 접속의 변환은 $\tilde{G}^h_{ij} = G^h_{ij} - \Psi^h_{ij}$로 주어지며, 여기서 $\Psi^h_{ij} = \dot{\partial}_j B^h_i$로, 변화가 스프레이나이 보정의 방향 도함수와 연결됨을 나타낸다.
• 전역 프레임워크는 국소 계산을 통해 하시구치와 마츠모토의 고전적 국소 결과를 재현하며, 유도된 표현의 전역 일致성을 검증한다.