[논문 리뷰] A gradient method for inconsistency reduction of pairwise comparisons matrices

Jean-Pierre Magnot, Jiří Mazurek외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 04.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일관성 지표를 최소화하기 위한 잠재함수로 간주함으로써 쌍대 비교(PC) 행렬의 일관성 부족을 감소시키기 위한 기울기 기반 방법을 제안한다. Koczkodaj의 지표와 다양한 평균화 방법을 포함한 일관성 지표의 가족에 기울기 강하를 적용함으로써, 서로 다른 비등가의 일관성화 절차를 도출하며, 이는 선택된 일관성 지표가 결과 일관성 행렬과 우선순위 벡터에 미치는 영향이 크다는 것을 드러낸다.

ABSTRACT

We investigate an application of a mathematically robust minimization method -- the gradient method -- to the consistencization problem of a pairwise comparisons (PC) matrix. Our approach sheds new light on the notion of a priority vector and leads naturally to the definition of instant priority vectors. We describe a sample family of inconsistency indicators based on various ways of taking an average value, which extends the inconsistency indicator based on the "$\\sup$"- norm. We apply this family of inconsistency indicators both for additive and multiplicative PC matrices to show that the choice of various inconsistency indicators lead to non-equivalent consistencization procedures.

연구 동기 및 목표

• 기존 일관성 감소 알고리즘에서 사용된 일관성 지표와의 명시적 연관성이 부족한 엄밀한 정당성 결여 문제를 해결하기 위해.
• 일관성 지표를 기울기 강하를 통해 최소화할 잠재함수로 간주함으로써 일관성화 문제를 재정의하기 위해.
• 구조적으로 유사한 일관성 지표일지라도, 서로 다른 일관성 지표 선택이 비등가의 일관성 행렬을 초래할 수 있음을 보여주기 위해.
• 선택된 일관성 지표에 따라 동적으로 변화하는 '순간 우선순위 벡터(instant priority vector)' 개념을 도입하여 고정된 우선순위 유도 방법과 대비하기 위해.
• 최대 일관성 부족만을 최소화하는 기존의 패러다임(예: Koczkodaj의 지표)을 도전하며, 모든 삼중조에 걸쳐 일관성 부족을 평균화하는 방법을 통해 더 균형 잡히고 현실적인 일관성 향상 접근을 주장하기 위해.

제안 방법

• PC 행렬 공간 위에서 일관성 지표를 미분 가능한 잠재함수로 공식화하여 기울기 기반 최적화를 가능하게 한다.
• 기울기 강하를 통해 일관성 지표를 최소화하는 고전적 기울기 방법을 적용하며, 기울기의 반대 방향으로 행렬 원소를 갱신한다.
• 산술, 제곱, 세제곱, 조화 평균을 사용하여 모든 삼중조의 일관성 부족을 평균화하는 방식으로 일관성 지표의 가족을 정의한다.
• 가감성 및 곱셈성 PC 행렬 모두에 대해 방법을 확장하여, 행렬 유형의 선택이 결과 일관성 행렬에 영향을 준다는 것을 보여준다.
• 기울기 과정의 동적 출력으로서 현재 일관성 지표와 행렬 상태에 따라 달라지는 '순간 우선순위 벡터' 개념을 도입한다.
• 수치 실험을 통해 다양한 일관성 지표와 행렬 유형에서 수렴성과 최종 행렬 구조를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기 기반 최소화를 사용할 때, 일관성 지표의 선택이 결과 일관성 PC 행렬에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 다양한 평균화 방법(예: 산술 평균 대비 조화 평균)을 가진 일관성 지표의 가족에 대해 기울기 방법을 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ3 일관성 지표와 결과 우선순위 벡터 사이의 관계는 무엇이며, 기울기 방법은 지표에 따라 달라지는 일관성 있는 우선순위 벡터를 생성하는가?
• RQ4 왜 최대 일관성 부족(예: Koczkodaj의 지표를 통한 최소화)만을 최소화하는 것이 실무에서 부족하거나 오해의 소지가 있는가?
• RQ5 가감성 및 곱셈성 PC 행렬은 동일한 기울기 기반 일관성 감소 절차에 대해 어떻게 다른 반응을 보이는가?

주요 결과

• 기울기 방법은 PC 행렬의 일관성 부족을 성공적으로 감소시키며, 선택된 일관성 지표에 따라 서로 다른 비등가의 일관성 행렬을 생성한다.
• 4×4 PC 행렬의 경우, 계수 $a_{2,4}^{(n)}$는 지표와 파rameter 설정에 따라 약 0.986에서 2.654 사이로 크게 변동하여, 지표 선택에 대한 민감성을 입증한다.
• 이 방법은 사용된 일관성 지표에 따라 본질적으로 달라지는 '순간 우선순위 벡터'를 생성하며, 보편적인 우선순위 벡터가 존재한다는 가정을 도전한다.
• 기존의 최소화 기법이 특정 일관성 지표에 고정되어 있지 않다는 점을 드러내어, 이들의 이론적 기초와 실용적 동등성에 대한 의문을 제기한다.
• 수치 결과는 유사한 일관성 지표(예: 다양한 평균화 방법)일지라도 서로 다른 수렴 경로와 최종 행렬 구조를 초래한다는 것을 보여준다.
• 이 연구는 최대 일관성 부족에만 집중하는 것의 비판을 제기하며, 모든 삼중조의 일관성 부족을 평균화하는 것이 더 균형 잡히고 현실적인 일관성 향상 접근임을 주장한다.