[논문 리뷰] A group induced four-circulant construction for self-dual codes and new extremal binary self-dual codes

Joe Gildea, Abidin Kaya외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 26.

Coding theory and cryptography참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 군 링을 이용한 새로운 군 유도 네 순환 행렬 구성법을 제안하여 극한 및 최적의 이진 자기수정 코드를 생성한다. $φ_2$, $φ_2 + uφ_2$, 및 $φ_4 + uφ_4$ 위의 군 링을 사용하고 순서 3, 7, 9, 13, 15인 군을 활용하여, 5개의 새로운 $[56,28,10]$ 코드, 23개의 서로 다른 무게 열거식을 가진 극한 $[68,34,14]$ 코드, 그리고 15개의 새로운 $[80,40,14]$ 코드를 구성하여 기존의 극한 자기수정 코드 집합을 크게 확장한다.

ABSTRACT

We introduce an altered version of the four circulant construction over group rings for self-dual codes. We consider this construction over the binary field, the rings F_2 + uF_2 and F_4 + uF_4; using groups of order 3, 7, 9, 13, and 15. Through these constructions and their extensions, we find binary self-dual codes of lengths 32, 40, 56, 64, 68 and 80, all of which are extremal or optimal. In particular, we find five new self-dual codes of parameters [56, 28, 10], twenty-three extremal binary self-dual codes of length 68 with new weight enumerators and fifteen new self-dual codes of parameters [80, 40, 14].

연구 동기 및 목표

• 군 링과 수정된 네 순환 행렬을 이용한 자기수정 코드에 대한 새로운 대수적 구성 방법을 개발하기 위해.
• 특성 2인 링 위에서 군 링에 의해 생성된 행렬로 순환 행렬을 대체함으로써 기존의 네 순환 구성법을 확장하기 위해.
• 길이 32, 40, 56, 64, 68, 80인 새로운 극한 및 최적의 이진 자기수정 코드를 발견하기 위해.
• 군 링 내의 단위 및 비단위가 생성된 자기수정 코드의 성질과 어떤 관련이 있는지 이론적 연결 고리를 설정하기 위해.
• MAGMA를 이용한 계산적 탐색을 통해 구성법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 구성법은 행렬 형태 $[I_{2n} \mid \begin{smallmatrix} A & B \\ B^T & A^T \end{smallmatrix}]$ 의 생성 행렬을 사용하며, 여기서 $A$ 및 $B$ 는 $\mathbb{F}_2$, $\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$, 및 $\mathbb{F}_4 + u\mathbb{F}_4$ 위의 군 링 원소로부터 유도된다.
• 순서 3, 7, 9, 13, 15인 군을 이용하여 순환형이 아닌 구조를 가진 행렬을 생성함으로써 새로운 코드 구성이 가능해진다.
• 특성 2인 링 위에서 행렬이 조건 $AA^T + BB^T = -I_n$ 을 만족함을 통해 자기수정성을 확보하며, 이 경우 부호는 적절히 조정된다.
• 기존의 코드들로부터 추가적인 자기수정 코드를 생성하기 위해 이웃 방법을 적용하여 구성법을 확장하였으며, 특히 길이 68인 경우에 유용하게 활용되었다.
• 자기수정성과 극한성 검증을 위해 MAGMA 대수 시스템을 이용한 계산적 검증을 수행하였다.
• 무게 열거식은 기존 목록과 비교하여 새로움을 확인하였으며, 특히 길이 68 및 80인 코드의 경우에 중점을 두었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 링 위에서 수정된 네 순환 구성법이 새로운 극한 이진 자기수정 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ2 군 링 내의 단위 및 비단위는 어떤 역할을 하여 자기수정 코드를 생성하는가?
• RQ3 다른 군 링과 군의 순서는 생성된 자기수정 코드의 구조와 매개변수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이웃 구성 방법은 새로운 가족의 기존 코드들로부터 새로운 극한 코드를 도출할 수 있는가?
• RQ5 특히 길이 68 및 80에서 생성된 코드의 무게 열거식은 얼마나 새로움을 보이며, 그 범위는 어떠한가?

주요 결과

• 저자들은 서로 다른 무게 열거식을 가진 5개의 새로운 극한 이진 자기수정 코드를 $[56,28,10]$ 매개변수로 구성하였으며, 이는 $W_{56,1}$ 에 속한다.
• 길이 68인 23개의 새로운 극한 이진 자기수정 코드를 발견하였으며, 이는 $W_{68,2}$ 에 속하고 매개변수로 $(\gamma=3, \beta \in \{165,169,171,173\})$, $(\gamma=4, \beta \in \{163,165,173,177,179,181,183,185,187,188,189,190,192,193,204,208,210,214\})$, 및 $(\gamma=5, \beta=201)$ 으로 구성된다.
• 길이 80인 15개의 새로운 극한 이진 자기수정 코드를 $[80,40,14]$ 매개변수로 구성하였으며, 이는 $W_{80,2}$ 에 속하고 $\beta=1$ 이고 $\alpha \in \{-96,-150,-168,-186,-204,-222,-240,-258,-312\}$ 이며, $\beta=10$ 이고 $\alpha \in \{-204,-276,-294,-330,-348,-366\}$ 이다.
• 이 구성법은 길이 32, 40, 56, 64, 68, 80를 포함한 여러 길이에서 새로운 코드를 성공적으로 생성하였으며, 이 중 많은 것이 극한 또는 최적의 성질을 가짐.
• 이웃 구성 방법을 통해 길이 68인 17개의 추가적인 새로운 코드를 도출하였으며, 이들 모두 자동형군의 순서가 2이면서 서로 다른 무게 열거식을 가짐.
• 군 링 기반 구성법, 특히 비순환 행렬을 사용할 경우, 새로운 극한 자기수정 코드를 발견하는 데 매우 강력하고 생산적인 방법임을 확인함.