[논문 리뷰] A group with at least subexponential hyperlinear profile

William Slofstra|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 13.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초등적 성장보다는 적어도 $ C' \cdot \exp\left(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha \right) $의 하한을 가지는 하이퍼선형 프로파일을 갖는 유한형으로 정의된 군을 구성한다. 여기서 $ 0 < \alpha < 1/2 $ 이다. 이 결과는 비자명한 군 원소를 탐지하기 위해 필요한 유니터리 $\epsilon$-표현의 차원에 대해 강력한 하한을 제공하며, 초등적 성장이 가능한 첫 번째 예시를 이룩한다. 또한 특정 비국소 게임이 거의 완벽한 성공을 달성하기 위해 초등적 양자 차원을 필요로 함을 시사한다.

ABSTRACT

The hyperlinear profile of a group measures the growth rate of the dimension of unitary approximations to the group. We construct a finitely-presented group whose hyperlinear profile is at least subexponential, i.e. at least $\exp(1/ε^{k})$ for some $0 &lt; k &lt; 1$. We use this group to give an example of a two-player non-local game requiring subexponential Hilbert space dimension to play near-perfectly.

연구 동기 및 목표

• 유한형으로 정의된 군의 하이퍼선형 프로파일이 초등적 성장보다는 적어도 초등적 성장 이상으로 증가하도록 구성하는 것.
• 근사 표현에서 비자명한 군 원소를 탐지하기 위해 필요한 유니터리 $\epsilon$-표현의 차원에 대한 구체적인 하한을 제공하는 것.
• 일부 이인 비국소 게임이 거의 완벽한 양자 전략을 달성하기 위해 초등적 힐버트 공간 차원을 필요로 함을 보여주는 것.
• 하이퍼선형성 자체가 증명되지 않은 군에 대해서도 하이퍼선형 프로파일이 다항식보다 더 빠르게 증가할 수 있음을 보여줌으로써 콘네스 임bedding 문제에 대한 이해를 발전시키는 것.

제안 방법

• 특정 생성자와 관계를 포함하는 군 $\mathcal{G}$의 구성은 고차원 유니터리 근사 표현을 강제하기 위해 설계되었다.
• 표현의 정규화된 프로베누스 노름 $\|\cdot\|_f$ 를 사용하여 $\epsilon$-표현을 정의하고, 유한 차원에서 군 관계가 얼마나 잘 만족되는지 정량화한다.
• 군 원소의 정규형에 대한 수정된 곱표 테이블 추론을 적용하여 하이퍼선형 프로파일 함수 $\operatorname{hlp}(w;\delta,\epsilon)$ 에 대한 하한을 유도한다.
• HNN 확장을 통해 더 큰 군 $\mathcal{G}'$ 를 구성하고, 중심적 반전 $J'$ 가 동일한 하한을 갖는다는 것을 보여준다.
• 기존 결과를 활용하여 비국소 게임의 양자 가치와 근사 표현에서 특별히 지정된 군 원소의 비자명성 간의 연결을 수립한다.
• 핵심 기술 단계는 임베딩 정리들을 활용하여 $\operatorname{hlp}(J^\prime;2,\epsilon) \geq C' \cdot \exp(C / \epsilon^\alpha)$ 를 보여주는 것으로, 여기서 $0 < \alpha < 1/2$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이퍼선형 프로파일이 다항식보다 더 빠르게 증가하는, 즉 적어도 초등적 성장 이상으로 증가하는, 유한형으로 정의된 군을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 군의 존재는 일부 비국소 게임이 거의 완벽한 양자 전략을 달성하기 위해 초등적 양자 차원을 필요로 함을 의미하는가?
• RQ3 하이퍼선형 프로파일이 $\exp(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha)$ 의 형태로 증가하는 하한을 확립할 수 있는가? 여기서 $\alpha < 1/2$ 이다.
• RQ4 이러한 군을 사용하여 하이퍼선형성 자체가 알려지지 않은 군이라도, 초등적 양자 차원 요구를 갖는 비국소 게임을 구성할 수 있는가?
• RQ5 군의 하이퍼선형 프로파일은 비국소 게임과 양자 상관관계의 복잡성에 대한 의미 있는 척도가 될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 유한형으로 정의된 군 $\mathcal{G}$ 를 구성하여, 어떤 단어 $w$ 에 대해 하이퍼선형 프로파일이 모든 $\epsilon, \delta > 0$ 과 임의의 $\alpha < 1/2$ 에 대해 $\operatorname{hlp}(w;\delta,\epsilon) \geq C' \cdot \exp\left(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha\right)$ 를 만족함을 보였다.
• 이 하한은 군 $\mathcal{G}$ 의 하이퍼선형 프로파일이 초다항식임을 시사하며, 이는 하이퍼선형 프로파일이 초등적 성장인 것으로 알려진 첫 번째 예시이다.
• HNN 확장을 적용하여, 확장된 군 $\mathcal{G}^\prime$ 의 중심적 반전 $J^\prime$ 이 $\operatorname{hlp}(J^\prime;2,\epsilon) \geq C' \cdot \exp(C / \epsilon^\alpha)$ 를 만족함을 보였다. 여기서 $0 < \alpha < 1/2$ 이다.
• 이 결과는 거의 완벽한 양자 전략을 달성하기 위해 초등적 힐버트 공간 차원이 필요한 이인 비국소 게임이 존재함을 시사한다. 양자 가치가 1이 되기 위해서는 근사 표현에서 특별히 지정된 군 원소가 비자명해야 하기 때문이다.
• 이 구성은 군 $\mathcal{G}$ 의 하이퍼선형성 문제를 해결하지 못했으며, 또한 비-MF 또는 비-소픽 성질을 증명하지 못했지만, 표현 복잡성에 대한 강력한 하한을 제공한다.
• 이 작업은 군 표현 이론과 비국소 게임 간의 새로운 정량적 연결을 수립하며, 하이퍼선형 프로파일에서 초등적 성장이 가능한, 유한형으로 정의된 군에서 실현 가능하다는 것을 보여준다.