[논문 리뷰] A Hamiltonian $\coprod\limits_n BO(n)$-action, stratified Morse theory and the $J$-homomorphism

Xin Jin|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 코타angent 번들의 극한 ℝᴺ에 대해 해밀토니안 ∐ₙBO(n)-작용을 설정하고, 스펙트럼의 층을 사용하여 그 작용을 양자화하며, J-호모모르피즘을 통해 분할된 모어스 이론을 풍부화시킨다. 이는 정확한 라그랑주 부분다양체 위의 브레인 구조의 분류 지도가 안정화된 가우스 지도와 J-호모모르피즘의 덜로핑을 통해 인식되며, (∞,2)-카테고리의 고차 카테고리적 구조를 통해 [JiTr]의 주장이 해결됨을 증명한다.

ABSTRACT

We use sheaves of spectra to quantize a Hamiltonian $\coprod\limits_n BO(n)$-action on $\varinjlim\limits_{N}T^*\mathbf{R}^N$ that naturally arises from Bott periodicity. We employ the category of correspondences developed in [GaRo] to give an enrichment of stratified Morse theory by the $J$-homomorphism. This provides a key step in the following work [Jin] on the proof of a claim in [JiTr]: the classifying map of the local system of brane structures on an (immersed) exact Lagrangian submanifold $L\subset T^*\mathbf{R}^N$ is given by the composition of the stable Gauss map $L ightarrow U/O$ and the delooping of the $J$-homomorphism $U/O ightarrow B\mathrm{Pic}(\mathbf{S})$. We put special emphasis on the functoriality and (symmetric) monoidal structures of the categories involved, and as a byproduct, we produce several concrete constructions of (commutative) algebra/module objects and (right-lax) morphisms between them in the (symmetric) monoidal $(\infty, 2)$-category of correspondences, generalizing the construction out of Segal objects in [GaRo], which might be of interest by its own.

연구 동기 및 목표

• 정확한 라그랑주 부분다양체 위의 브레인 구조 층의 분류 지도가 안정화된 가우스 지도와 J-호모모르피즘의 덜로핑을 통해 인식됨을 증명하는 것.
• limₙT*ℝⁿ 위에 양자화된 해밀토니안 ∐ₙBO(n)-작용을 구축하여 분할된 모어스 이론을 J-호모모르피즘으로 풍부화하는 것.
• 대칭 모노이드 (∞,2)-카테고리인 대응관계의 카테고리에서 (가환) 대수 및 모듈러 대상의 구체적 구성법을 개발하여 세갈 개체 구성법을 일반화하는 것.
• 대응관계 위의 스펙트럼 층에 대한 함자적이고 모노이드적인 프레임워크를 수립하여 기하적 작용의 양자화와 위상적 불변량을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 보트 주기성에서 유래하는 limₙT*ℝⁿ 위의 해밀토니안 ∐ₙBO(n)-작용을 스펙트럼의 층을 사용하여 양자화하는 것.
• [GaRo]의 대응관계 카테고리에서 고차 카테고리적 구조를 모델링하고 대칭 모노이드 함자를 구성하는 데 사용하는 것.
• 지역 시스템 위에 올려진 Corr(S_LCH)에서의 대수 대상 위의 모듈러 대상을 구성하기 위해, 층 카테고리의 안정화를 사용하는 것.
• 모어스 변형과 국소화 기법을 적용하여 서로 다른 스트라타 간의 층 카테고리 간의 관계를 설정하고 J-호모모르피즘으로 안정화하는 것.
• ShvSp의 함자에 대해 오른쪽-완화된 대칭 모노이드 구조를 사용하여 대응관계를 통해 대수적 및 모듈러 대상 데이터를 유지하는 것.
• 보조 데이터(예: A_S)의 선택에 관계없이 구성의 호환성을 극한 과정과 자연 동형을 통해 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 limₙT*ℝⁿ 위의 해밀토니안 ∐ₙBO(n)-작용은 어떻게 스펙트럼의 층을 사용하여 양자화될 수 있는가?
• RQ2 J-호모모르피즘은 정확한 라그랑주 부분다양체 위의 브레인 구조 분류에서 어떤 정확한 역할을 하는가?
• RQ3 대응관계의 카테고리와 그 대칭 모노이드 구조는 (∞,2)-카테고리에서 대수 및 모듈러 대상을 구성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 기하적 작용의 양자화를 통해 분할된 모어스 이론은 J-호모모르피즘으로 풍부화될 수 있는가?
• RQ5 브레인 구조 층의 분류 지도가 U/O와 BJ를 통해 어떻게 인수분해되는가? 그리고 그 증명은 무엇인가?

주요 결과

• 정확한 라그랑주 부분다양체 L ⊂ T*ℝᴺ 위의 브레인 구조 층의 분류 지도는 L → U/O → BPic(𝕊)로 인수분해되며, 두 번째 사상은 J-호모모르피즘의 덜로핑이다.
• 해밀토니안 ∐ₙBO(n)-작용의 양자화는 (∞,2)-카테고리의 대응관계에서 대수 대상 VGₙ• 위의 모듈러 대상을 유도한다.
• Gₙ, VGₙ, 그리고  Q̂ₙ,ₘ의 지역 시스템 카테고리의 안정화가 잘 정의된 극한을 생성하며, 이는 J-호모모르피즘을 포함한다.
• 대응관계 위의 함자 ShvSp_all,all^prop는 오른쪽-완화된 대칭 모노이드 구조를 가지며, 기하적 자료에 스펙트럼을 일관되게 할당할 수 있게 한다.
• Corr(S_LCH)에서의 대수 및 모듈러 대상의 구성은 세갈 개체 구성법을 일반화하며, 고차 카테고리 이론에서 새로운 예를 제공한다.
• 모어스 변형과 안정화의 호환성은 J-호모모르피즘이 기하적 양자화 과정에서 자연스럽게 유도됨을 보장한다.