[논문 리뷰] A high-order relaxation method with projective integration for solving nonlinear systems of hyperbolic conservation laws

Pauline Lafitte, Ward Melis외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 17.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 47인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 다차원 비선형 쌍곡 보존법칙을 위한 고차수, 완전히 명시적 relaxation 스킴을 제시한다. 이는 프로젝티브 통합을 통해 BGK 유형의 운동학 방정식을 풀음으로써 달성된다. 이 방법은 시간 도함수를 추정하기 위해 소수의 전진 오일러 단계를 사용하며, 이로 인해 CFL 유사 안정성과 강성 독립성과 함께 안정적인 고차수 외부 룬게-쿠타 시간 적분이 가능해지며, 리만 해법 기반 방법의 강력하고 일반적인 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We present a general, high-order, fully explicit relaxation scheme which can be applied to any system of nonlinear hyperbolic conservation laws in multiple dimensions. The scheme consists of two steps. In a first (relaxation) step, the nonlinear hyperbolic conservation law is approximated by a kinetic equation with stiff BGK source term. Then, this kinetic equation is integrated in time using a projective integration method. After taking a few small (inner) steps with a simple, explicit method (such as direct forward Euler) to damp out the stiff components of the solution, the time derivative is estimated and used in an (outer) Runge-Kutta method of arbitrary order. We show that, with an appropriate choice of inner step size, the time step restriction on the outer time step is similar to the CFL condition for the hyperbolic conservation law. Moreover, the number of inner time steps is also independent of the stiffness of the BGK source term. We discuss stability and consistency, and illustrate with numerical results (linear advection, Burgers' equation and the shallow water and Euler equations) in one and two spatial dimensions.

연구 동기 및 목표

• 다차원 공간에서 비선형 쌍곡 보존법칙을 위한 일반적이고 고차수, 완전히 명시적인 수치적 스킴을 개발한다.
• 복잡한 문제별 재구성 및 유량 계산이 필요한 전통적인 리만 해법 기반 방법의 한계를 극복한다.
• 일반적으로 순서를 제한하거나 안정성 문제를 야기하는, 리아케이션 방법에서의 분할 또는 IMEX 기법이 필요 없도록 한다.
• 외부 적분기의 시간 단계 제약 조건을 원래의 쌍곡 시스템의 CFL 조건과 유사하게 유지한다. 이는 강성 매개변수 ε에 영향을 받지 않는다.
• 내부 단계의 수가 ε에 독립적이게 보장함으로써, 모든 강성 범위에서 효율적인 계산이 가능하도록 한다.

제안 방법

• 작은 리아케이션 매개변수 ε를 포함한 BGK 운동학 방정식을 사용하여 원래의 쌍곡 보존법칙을 근사한다.
• BGK 방정식의 강성 성분을 감쇠시키기 위해 소수의 내부 시간 단계에 직접 전진 오일러 방법을 사용한다.
• 내부 단계에서 도함수를 추정하고, 이를 임의의 차수의 고차수 외부 룬게-쿠타 방법에 사용한다.
• 내부 명시적 시간 적분과 도함수 추정 기반 외부 시간 스텝을 조합함으로써 프로젝티브 통합을 적용한다.
• 운동학 공식화에서 공간 재구성을 위해 고차수 공간 이산화 방법(예: ENO 또는 업윈드 스킴)을 사용한다.
• 외부 시간 단계 제약 조건이 원래의 쌍곡 시스템의 CFL 조건과 일치하도록 내부 단계 크기를 선택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리아케이션과 프로젝티브 통합을 사용하여 비선형 쌍곡 보존법칙에 대해 완전히 명시적이고 고차수의 시간 적분 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법은 강성 매개변수 ε에 독립적으로 안정성과 일致성을 유지하는가?
• RQ3 외부 시간 단계 크기를 원래의 쌍곡 시스템의 CFL 조건과 유사한 제약 조건으로 선택할 수 있는가?
• RQ4 필요한 내부 시간 단계의 수가 ε에 독립적인가? 이는 강성 범위에서의 효율성을 보장한다.
• RQ5 선형 이동, 버거스 방정식, 얕은 수면 방정식, 그리고 유동 방정식을 포함한 다양한 시험 문제에서 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 적절한 내부 단계 크기 선택 조건 하에서, 외부 룬게-쿠타 방법을 사용하여 시간에 대해 임의의 차수의 정확도를 달성하며, 안정성과 일치성이 증명된다.
• 최적의 내부 단계 크기를 사용할 경우, 외부 시간 단계 제약 조건은 원래의 쌍곡 보존법칙의 CFL 조건과 동일하다.
• 내부 단계의 수는 강성 매개변수 ε에 독립적이며, 모든 범위에서 효율적인 계산이 가능하다.
• 1차원 및 2차원 문제(선형 이동, 버거스, 얕은 수면, 그리고 유동 방정식)에 대한 수치 결과는 이 방법의 강력성과 정확성을 확인한다.
• 2차원 댐 붕괴 문제에서 t = 1.5일 때 수심 h ≈ 0.96로 안정화되며, 기존 기준과 일치한다.
• 2차원 소드의 충격 튜브 시험에서, 3차 ENO 공간 재구성과 PRK4 시간 적분을 사용하여 충격 형성과 팽창파를 성공적으로 포착한다.