[논문 리뷰] A Hilbert manifold structure on the refined Teichmueller space of bordered Riemann surfaces

David Radnell, Eric Schippers외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 04.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $2g+2-n > 0$ 인 경계를 가진 종수 $g$인 리만 표면의 개선된 테이히뮐러 공간에 하이버트 다양체 구조를 수립한다. 이는 쿼시콘formal 사상의 해석적 보완과 베소프 공간 이론을 활용한다. 또한, 양자역학적 이론에서의 레이저드 모듈리 공간이, 적절히 이산적인 복소다양체의 군에 의한 몫으로서 유도되는 복소 하이버트 다양체임을 보인다.

ABSTRACT

We consider bordered Riemann surfaces which are biholomorphic to compact Riemann surfaces of genus g with n regions biholomorphic to the disc removed. We define a refined Teichmueller space of such Riemann surfaces and demonstrate that in the case that 2g+2-n>0, this refined Teichmueller space is a Hilbert manifold. The inclusion map from the refined Teichmueller space into the usual Teichmueller space (which is a Banach manifold) is holomorphic. We also show that the rigged moduli space of Riemann surfaces with non-overlapping holomorphic maps, appearing in conformal field theory, is a complex Hilbert manifold. This result requires an analytic reformulation of the moduli space, by enlarging the set of non-overlapping mappings to a class of maps intermediate between analytically extendible maps and quasiconformally extendible maps. Finally we show that the rigged moduli space is the quotient of the refined Teichmueller space by a properly discontinuous group of biholomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 경계 성분이 $n$ 개인 원형과 위상동형인 경계를 가진 리만 표면에 대해 개선된 테이히뮐러 공간을 정의한다.
• 베소프 공간과 카르레슨 측도에서 유래한 해석적 구조를 사용하여, $2g+2-n > 0$ 일 때 이 개선된 공간이 하이버트 다양체임을 수립한다.
• 표준 테이히뮐러 공간으로의 포함 사상이 해석적임을 보인다.
• 비중첩 해석적 사상의 조합을 재해석함으로써, 양자장 이론에서의 레이저드 모듈리 공간이 복소 하이버트 다양체임을 보인다.
• 레이저드 모듈리 공간이 적절히 이산적인 복소다양체의 군에 의한 몫으로서의 복소다양체와 해석적으로 동치임을 증명한다.

제안 방법

• 타크하자얀과 티오의 보편 테이히뮐러 공간 이론과 고우 후이의 $L^2$ 기반 쿼시콘포멀 테이히뮐러 이론의 개선을 조합한다.
• 표면의 표시된 해석적 가닥과 가르디너-스피퍼의 변분 방법 이론을 활용한다.
• 디리클레 공간과 리틀 블로흐 공간 사이의 관계를 이용하여 전이 함수를 분석한다.
• 해석적 베소프 공간에 대한 카르레슨 측도 이론을 적용하여 전이 사상이 복소다양체임을 검증한다.
• 해석적 및 쿼시콘포멀로 확장 가능한 사상 사이의 중간 유형의 사상 클래스를 도입하여, 레이저드 모듈리 공간을 재구성한다.
• 개선된 테이히뮐러 공간에서 레이저드 모듈리 공간으로의 사영 사상 $P_0$를 구성하고, 이것이 해석적이고 전사적이며 국소 해석적 역함수를 가짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 리만 표면의 개선된 테이히뮐러 공간이 하이버트 다양체가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 양자장 이론에서의 레이저드 모듈리 공간에 하이버트 다양체 구조를 어떻게 부여할 수 있는가?
• RQ3 개선된 테이히뮐러 공간과 레이저드 모듈리 공간 사이의 군 작용과 몫 관계는 어떠한가?
• RQ4 개선된 테이히뮐러 공간이 표준 테이히뮐러 공간에 포함될 때, 이 포함 사상이 해석적임을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ5 해석적 사상에 대한 어떤 해석적 조건이 레이저드 모듈리 공간이 하이버트 다양체 구조를 가질 수 있도록 보장하는가?

주요 결과

• 종수 $(g,n)$인 경계를 가진 리만 표면의 개선된 테이히뮐러 공간은 $2g+2-n > 0$ 일 때 하이버트 다양체이다.
• 개선된 테이히뮐러 공간에서 표준 테이히뮐러 공간으로의 포함 사상은 해석적이다.
• 비중첩 해석적 사상이 있는 리만 표면의 레이저드 모듈리 공간은 복소 하이버트 다양체이다.
• 레이저드 모듈리 공간은 적절히 이산적인 군 $ ext{PModI}(\Sigma^B)$의 작용에 의한 개선된 테이히뮐러 공간의 몫과 해석적으로 동치이다.
• $P_0$는 개선된 테이히뮐러 공간에서 레이저드 모듈리 공간으로의 사영 사상으로, 해석적이며 국소 해석적 역함수를 가진다.
• 레이저드 모듈리 공간의 하이버트 다양체 구조는 기저 표면과 레이저드의 선택에 관계없이 불변이다.