[논문 리뷰] A horse racing between the block maxima method and the peak-over-threshold approach

Axel Bücher, Chen Zhou|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 01.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 74인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 극단가치 통계에서 블록 최대치(BM) 방법과 임계치 초과 방법(POT) 간의 체계적인 이론적 및 실용적 비교를 제공한다. 두 방법 중 어느 것이 항상 우월하다고 볼 수는 없으며, 순차적 의존성이 있는 경우 BM은 복귀 수준 추정에서 유리하고, POT는 분위수 추정에서 뛰어난 성능을 보인다. 선택은 데이터의 의존성 구조와 통계적 목표에 따라 달라진다.

ABSTRACT

Classical extreme value statistics consists of two fundamental approaches: the block maxima (BM) method and the peak-over-threshold (POT) approach. It seems to be general consensus among researchers in the field that the POT method makes use of extreme observations more efficiently than the BM method. We shed light on this discussion from three different perspectives. First, based on recent theoretical results for the BM approach, we provide a theoretical comparison in i.i.d.\ scenarios. We argue that the data generating process may favour either one or the other approach. Second, if the underlying data possesses serial dependence, we argue that the choice of a method should be primarily guided by the ultimate statistical interest: for instance, POT is preferable for quantile estimation, while BM is preferable for return level estimation. Finally, we discuss the two approaches for multivariate observations and identify various open ends for future research.

연구 동기 및 목표

• 극단가치 분석에서 임계치 초과(POT) 방법이 블록 최대치(BM) 방법보다 열등한지 여부에 대한 오랫동안 이어져 온 논쟁을 해결하기 위해.
• 특히 점근적 효율성과 편향을 중심으로, 독립 identical distribution(i.i.d.) 및 의존성 있는 데이터 시나리오에서 BM과 POT의 상대적 성능을 평가하기 위해.
• 특히 순차적 의존성 또는 다변량 의존성이 존재할 경우 각 방법이 언제 유리한지 명확히 하기 위해.
• 다변량 및 시간열 설정으로의 두 번째 차수 조건과 점근 이론을 확장하는 데 있어 남아 있는 이론적 과제를 규명하기 위해.
• 특히 스토크래틱 프로세스와 다변량 극단가치에서 BM과 POT를 비교하는 데 있어 아직 해결되지 않은 핵심 문제들을 제시함으로써 향후 연구를 자극하기 위해.

제안 방법

• 최근의 블록 최대치에 대한 두 번째 차수 조건 결과를 활용하여, i.i.d. 및 정적 시간열 가정 하에 점근적 성질을 수립함으로써 BM과 POT의 이론적 비교를 수행함.
• 블록 최대치의 극한 모형으로 일반화된 극단가치(GEV) 분포를, 임계치 초과 값의 극한 모형으로 일반화된 페아레토(GP) 분포를 각각 사용함.
• 의존성 있는 설정에서 BM과 POT 추정기 간의 연결을 위해 극단지수를 활용함. 특히 순차적 의존성이 꼬리 행동에 미치는 영향을 정량화함.
• BM과 POT 추정기가 일致하고 점근적으로 정규분포를 따르는 조건을 유도함. 이 과정에서 편향과 분산의 상호 보완적 관계를 고려함.
• 최근의 이론적 결과를 다변량 및 스토크래틱 프로세스 설정으로 확장함. 극한 안정성 및 일반화된 페아레토 프로세스를 극한 모형으로 사용함.
• 플러그인 원칙을 활용하여 두 접근법에서 고분위수 및 꼬리 확률에 대한 추정기를 유도하고, 이들의 이론적 성능을 비교함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 블록 최대치 방법이 점근적 효율성과 편향 측면에서 임계치 초과 방법을 능가하는가?
• RQ2 시간열에서의 순차적 의존성이 BM과 POT 추정기의 상대적 성능에 미치는 영향은 무엇이며, 복귀 수준 추정과 분위수 추정 중 어느 것이 더 적합한가?
• RQ3 다변량 및 의존성 있는 설정에서 BM과 POT에 대한 두 번째 차수 조건을 통합할 수 있는 이론적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ4 BM과 POT 방법의 최적의 블록 크기와 임계치는 무엇이며, 실무에서 편향을 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ5 POT 접근법을 스토크래틱 프로세스로 확장할 수 있는 정도는 어느 정도이며, 이러한 설정에서 BM 접근법과 비교해 볼 때 어떤가?

주요 결과

• 일부 i.i.d. 시나리오에서 블록 최대치 방법이 수렴 속도 측면에서 임계치 초과 방법을 능가할 수 있으며, 이는 일반적으로 POT가 항상 더 효율적이라고 여겨지는 공통의 믿음을 도전한다.
• 정적 시간열에서는 통계적 목표에 따라 BM과 POT의 선택이 달라져야 하며, 복귀 수준 추정에는 BM이 더 바람직하고, 분위수 추정에는 POT가 더 우수하다.
• 극한지수는 의존성 있는 설정에서 BM과 POT 추정기 간의 연결에 핵심적인 역할을 하며, 이로써 다양한 방법 간의 꼬리 행동 비교가 가능해진다.
• 다변량 설정에서는 적절한 의존성 조건 하에서 BM과 POT 모두 일致하고 점근적으로 정규분포를 따르지만, 다변량 두 번째 차수 조건의 부재로 인해 이론적 비교는 여전히 불가능하다.
• POT 접근법은 다변량 및 스토크래틱 프로세스 설정에서 이론적으로 더 잘 발전되어 있으나, BM 접근법은 특히 두 번째 차수 조건 측면에서 이러한 설정에서 이론적 기초가 부족하다.
• 주요 열린 문제 중 하나는 BM과 POT 프레임워크 간의 등가성을 보장할 수 있는 다변량 두 번째 차수 조건의 부재로, 이는 고차원에서의 직접 비교를 어렵게 한다.