[논문 리뷰] A Hybrid Observer for a Distributed Linear System with a Changing Neighbor Graph

L. Wang, A. Stephen Morse외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 13.

Distributed Control Multi-Agent Systems참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 이웃 그래프를 가진 선형 시스템에서 분산 상태 추정을 위한 하이브리드 관측기를 제안한다. 이 관측기는 연속시간 국소 관측기와 이산사건 기반 파라미터 추정을 조합한다. 공동 관측성과 강한 연결성 조건 하에서, 에이전트가 네트워크에 진입하거나 이탈하더라도 참 상태로의 지수적 수렴을 달성한다.

ABSTRACT

A hybrid observer is described for estimating the state of an $m>0$ channel, $n$-dimensional, continuous-time, distributed linear system of the form $\dot{x} = Ax,\;y_i = C_ix,\;i\in\{1,2,\ldots, m\}$. The system's state $x$ is simultaneously estimated by $m$ agents assuming each agent $i$ senses $y_i$ and receives appropriately defined data from each of its current neighbors. Neighbor relations are characterized by a time-varying directed graph $\mathbb{N}(t)$ whose vertices correspond to agents and whose arcs depict neighbor relations. Agent $i$ updates its estimate $x_i$ of $x$ at "event times" $t_1,t_2,\ldots $ using a local observer and a local parameter estimator. The local observer is a continuous time linear system whose input is $y_i$ and whose output $w_i$ is an asymptotically correct estimate of $L_ix$ where $L_i$ a matrix with kernel equaling the unobservable space of $(C_i,A)$. The local parameter estimator is a recursive algorithm designed to estimate, prior to each event time $t_j$, a constant parameter $p_j$ which satisfies the linear equations $w_k(t_j-τ) = L_kp_j+μ_k(t_j-τ),\;k\in\{1,2,\ldots,m\}$, where $τ$ is a small positive constant and $μ_k$ is the state estimation error of local observer $k$. Agent $i$ accomplishes this by iterating its parameter estimator state $z_i$, $q$ times within the interval $[t_j-τ, t_j)$, and by making use of the state of each of its neighbors' parameter estimators at each iteration. The updated value of $x_i$ at event time $t_j$ is then $x_i(t_j) = e^{Aτ}z_i(q)$. Subject to the assumptions that (i) the neighbor graph $\mathbb{N}(t)$ is strongly connected for all time, (ii) the system whose state is to be estimated is jointly observable, (iii) $q$ is sufficiently large, it is shown that each estimate $x_i$ converges to $x$ exponentially fast as $t ightarrow \infty$ at a rate which can be controlled.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하거나 불안정한 이웃 관계에서 실패하는 기존 분산 관측기의 한계를 해결한다.
• 에이전트가 네트워크에서 이탈할 경우 불안정해지는 이전 관측기의 취약성을 극복한다.
• 동적 에이전트 연결성 조건 하에서도 지수적 수렴을 유지하는 내구성 있는 분산 관측기를 설계한다.
• 변경되는 네트워크 위상 조건 하에서도 국소 측정치와 이웃 데이터만을 사용해 각 에이전트가 전역 시스템 상태를 추정할 수 있도록 한다.
• 에이전트 장애나 단절이 발생하더라도 나머지 네트워크가 여전히 강한 연결성과 공동 관측성을 유지하는 한 관측기가 기능하고 안정성을 유지하도록 보장한다.

제안 방법

• 각 에이전트는 상태의 선형 변환 $ L_i x $ 를 연속시간 국소 관측기를 사용해 추정한다. 여기서 $ L_i $ 는 에이전트 $ i $ 의 시점에서 관측 가능한 상태 부분을 나타낸다.
• 이산사건 시점 $ t_j $ 에서, 에이전트들은 간격 $ [t_j - \tau, t_j) $ 내에서 $ q $ 반복 동안 이웃 추정치를 사용해 $ t_j - \tau $ 에 동결된 상태 $ x $ 를 재구성하는 순환 파라미터 추정기를 실행한다.
• 파라미터 추정기는 이웃 데이터를 사용해 상태 $ z_i $ 를 순환적으로 갱신하며, 식 $ w_k(t_j - \tau) = L_k p_j + \mu_k(t_j - \tau) $ 를 해결한다. 여기서 $ p_j $ 는 $ t_j - \tau $ 에서 추정된 상태이다.
• 각 에이전트는 $ q $ 반복 후의 최종 값 $ z_i(q) $ 를 사용해 상태 추정치를 $ x_i(t_j) = e^{A\tau} z_i(q) $ 로 갱신한다.
• 관측기는 하이브리드 구조를 취한다: 사고전이 간격에서는 연속시간 동역학을 유지하며, 사고전이 시점에 이웃 데이터 기반으로 이산적 갱신을 수행한다.
• 관측기 수렴성은 행렬 노름과 관측기 이득 행렬들의 곱 $ \Omega_j $ 의 스펙트럼 반경에 대한 경계를 이용한 수축 분석을 통해 보장되며, 이는 추정 오차의 지수적 감소를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 이웃 그래프 조건 하에서 분산 관측기가 지수적 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ2 에이전트가 네트워크에서 이탈할 경우에도 이러한 관측기가 안정적이고 정확한가?
• RQ3 고정된 네트워크 위상 또는 전역 동기화에 의존하지 않는 내구성 있는 분산 관측기를 설계할 수 있는가?
• RQ4 국소 측정치와 간헐적인 이웃 데이터만을 사용해 국소 에이전트가 전역 상태를 추정할 수 있는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 통신 및 위상 조건 하에서도 추정 오차가 지수적으로 감소할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 시간에 따라 변화하는 이웃 그래프가 공동 관측성과 강한 연결성을 만족할 경우, 하이브리드 관측기는 각 에이전트의 상태 추정치가 참 상태로 지수적으로 수렴함을 보장한다.
• 수렴 속도는 $ \lambda = -\frac{1}{T} \ln \beta $ 로 경계되며, $ \beta < 1 $ 이고 관측기 이득 행렬의 스펙트럼 반경에 따라 달라진다.
• 추정 오차는 모든 $ t \geq 0 $ 에 대해 $ \|x_i(t) - x(t)\|_2 \leq e^{-\lambda t}(\sigma_x + \sigma_\mu) $ 를 만족한다. 여기서 $ \sigma_x $ 와 $ \sigma_\mu $ 는 초기 상태 및 오차 상태의 편차를 나타낸다.
• 관측기는 내구성 있다: 한 에이전트가 네트워크에서 이탈하더라도, 나머지 에이전트들은 여전히 정확한 상태를 추정할 수 있다. 조건은 나머지 그래프가 여전히 강한 연결성을 유지하고 시스템이 공동 관측성을 유지하는 것이다.
• 파라미터 추정기의 반복 수 $ q $ 를 증가시키면 수렴 속도가 향상되며, $ q $ 가 클수록 $ \beta $ 가 감소하기 때문이다. 다만 전송 지연으로 인해 실용적인 $ q $ 값은 제한된다.
• 이 방법은 측정 노이즈에 대해 강건하며, 노이즈 하에서 성능이 점진적으로 저하되므로 최적 필터링을 통한 노이즈 환경 확장 가능성도 제안된다.