[논문 리뷰] $(A_\infty,2)$-categories and relative 2-operads

Nathaniel Bottman, Shachar Carmeli|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 13.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상대 2-오퍼레이드의 개념을 도입하여, 2-아소시아헤드론이 아소시아헤드론에 대해 상대적인 구조를 이룬다는 것을 증명한다. 논문은 위상수학적 및 체인 복합체 설정에서 $(A_\infty,2)$-범주와 대수를 정의하고, 연속 사상에 대해 $\theta(A\to X)$ 대수의 가족을 구성하여 $\Omega^2X$와 $\Omega A \times \Omega A$를 특수한 경우로 회복한다.

ABSTRACT

We define the notion of a 2-operad relative to an operad, and prove that the 2-associahedra form a 2-operad relative to the associahedra. Using this structure, we define the notions of an $(A_\infty,2)$-category and $(A_\infty,2)$-algebra in spaces and in chain complexes over a ring. Finally, we show that for any continuous map $A o X$, we can associate an $(A_\infty,2)$-algebra $θ(A o X)$ in $ extsf{Top}$, which specializes to $θ( ext{pt} o X) = Ω^2 X$ and $θ(A o ext{pt}) = ΩA imes ΩA$.

연구 동기 및 목표

• 고차 범주적 구조를 위한 오퍼레이드의 일반화인 새로운 대수적 구조—상대 2-오퍼레이드—를 정의하기 위해.
• 2-아소시아헤드론이 분할 구조를 가진 공간으로서 실현되며, 아소시아헤드론 위에서 상대 2-오퍼레이드를 이룬다는 것을 확립하기 위해.
• 이 상대 오퍼레이드 프레임워크를 사용하여 위상수학적 및 체인 복합체 범주에서 $(A_\infty,2)$-범주와 대수를 정의하기 위해.
• 연속 사상 $A\to X$에 대해 $\theta(A\to X)$ 대수의 가족을 구성하여 루프 공간 구성법을 통합하기 위해.

제안 방법

• 기본 오퍼레이드 $P_r = \overline{\mathcal{M}}_r$ (아소시아헤드론)와 함께, 잊어버림 및 접합 사상이 호환 조건을 만족하는 공간의 집합 $Q_{\mathbf{n}} = \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$ (2-아소시아헤드론)를 갖는 상대 2-오퍼레이드로 정의한다.
• 마법의 곡선을 통한 2-아소시아헤드론의 분할 실현을 이용하여 잊어버림 사상 $\pi: \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}} \to \overline{\mathcal{M}}_r$ 와 트리 쌍에 대한 재귀적 접합 사상 $\Gamma_{2T}$ 를 정의한다.
• 각 $r$-튜플 $\mathbf{n} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^r \setminus \{\mathbf{0}\}$ 에 대해 $\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$ 에 따라 색인화된 사상의 공간을 할당하여 상대 2-오퍼레이드 위의 범주를 구성한다.
• 2-아소시아헤드론 위의 정수 코호몰로지 $C_*(Q_{\mathbf{m}})$ 를 사용하여 $R$-선형 $(A_\infty,2)$-범주를 정의하고, 섬유곱과 앨리오퍼-유크리드 맵을 포함하는 결합 법칙 다이어그램을 만족하는 조합 법칙 사상을 정의한다.
• 경계 조건이 $A$ 에 속하는 $[0,1]^2 \to X$ 의 사상들의 공간으로서 $\widetilde{(A_\infty,2)}$-대수 $\theta(A\to X)$ 를 정의하며, 이는 $\Omega^2X$ 와 $\Omega A \times \Omega A$ 를 일반화한다.
• 2-큐브 $2\text{Cube}_{\mathbf{n}}$ 의 호모토피 유형을 $\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$ 의 모델로 사용하여, 향후 상대 2-오퍼레이드의 모델 구조에서 호모토피 동치일 가능성을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-아소시아헤드론은 아소시아헤드론에 대해 일관된 오퍼레이드 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 고차 범주적 합성의 특성을 캡처하는 데 적합한 오퍼레이드의 일반화는 무엇인가?
• RQ3 이 상대 오퍼레이드 프레임워크를 사용하여 위상수학적 및 체인 복합체 설정에서 $(A_\infty,2)$-대수와 범주를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ4 사상 $A\to X$ 에 대해 $\theta(A\to X)$ 의 구성은 어떤 호모토피적 의미를 지닌다?
• RQ5 적절한 모델 범주에서 상대 2-오퍼레이드 $({\rm 2Cube}_{\mathbf{n}})$ 와 $(\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$ 는 호모토피 동치인가?

주요 결과

• 2-아소시아헤드론 $\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$ 는 아소시아헤드론 $\overline{\mathcal{M}}_r$ 위에서 잊어버림 및 재귀적 접합 사상이 호환 조건을 만족하는 상대 2-오퍼레이드를 이룬다.
• $\theta(A\to X)$ 의 구성은 Top 내의 $\widetilde{(A_\infty,2)}$-대수를 얻으며, $\theta({\rm pt} \to X) = \Omega^2X$ 이고 $\theta(A \to {\rm pt}) = \Omega A \times \Omega A$ 임을 보여준다.
• $R$-선형 $(A_\infty,2)$-범주는 상대 2-오퍼레이드 $(\overline{\mathcal{M}}_r, \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$ 위의 $R$-선형 범주로 정의되며, 정수 코호몰로지와 섬유곱을 포함하는 교환 다이어그램을 만족하는 조합 법칙 사상이 있다.
• 상대 2-오퍼레이드 구조는 잊어버림 사상 $\pi: \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}} \to \overline{\mathcal{M}}_r$ 와 안정 트리 쌍에 대한 재귀적 접합 사상 $\Gamma_{2T}$ 를 통해 체계화된다.
• 작은 큐브 오퍼레이드와 밀접하게 관련된 두 번째 상대 2-오퍼레이드의 예로 2-큐브 오퍼레이드 $({\rm 2Cube}_{\mathbf{n}})$ 가 도입된다.
• 저자들은 향후 상대 2-오퍼레이드의 모델 범주에서 $({\rm 2Cube}_{\mathbf{n}})$ 와 $(\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$ 가 호모토피 동치일 것이라 추측한다.