[논문 리뷰] $A\_\infty$ weights and compactness of conformal metrics under $L^{n/2}$ curvature bounds

Clara L. Aldana, Gilles Carron외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 곡률과 체적에 대해 균일한 $L^{n/2}$ 유계성 조건이 만족될 때, 조화 분석에서 유래한 $A_\infty$-가중치를 사용하여, 등각 리만 계량의 전compactness를 확립한다. 이러한 수열은 극한 거리 공간으로 Gromov-Hausdorff 위상에서 수렴하며, 특이성이 발생하더라도 극한에 대한 기하적 통제가 가능하다. 그러나 극한 거리가 등각 인자들의 점별 극한에 의해 유도되는 거리와 일치하지 않을 수 있으며, 이는 진동하는 계량을 가진 반례를 통해 보여진다.

ABSTRACT

We study sequences of conformal deformations of a smooth closed Riemannian manifold of dimension $n$, assuming uniform volume bounds and $L^{n/2}$ bounds on their scalar curvatures. Singularities may appear in the limit. Nevertheless, we show that under such bounds the underlying metric spaces are pre-compact in the Gromov-Hausdorff topology. Our study is based on the use of $A_\infty$-weights from harmonic analysis, and provides geometric controls on the limit spaces thus obtained. Our techniques also show that any conformal deformation of the Euclidean metric on $R^n$ with infinite volume and finite $L^{n/2}$ norm of the scalar curvature satisfies the Euclidean isoperimetric inequality.

연구 동기 및 목표

• 균일한 $L^{n/2}$ 스칼라 곡률과 체적 통제 조건 하에서 리만 다양체의 등각 변형 수열의 순차적 컴팩트성을 확립하기 위해.
• 곡률 집중으로 인해 특이성이 발생할 경우 극한 공간의 기하적 구조를 분석하기 위해.
• Gromov-Hausdorff 극한 거리가 등각 인자들의 점별 극한에 의해 유도되는 거리와 일치하는지 조사하기 위해.
• 특히 $A_\infty$-가중치를 활용한 조화 분석 도구를 통해 극한 공간에 대한 기하적 통제를 제공하기 위해.
• 등각 인자에서의 진동 행동이 존재할 경우, 거리의 극한과 등각 인자 극한 간의 차이를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• $A_\infty$-가중치를 사용하여 리만 체적 측도를 통제하고, 약한-* 수렴을 통해 극한 측도로 수렴 보장하기 위해.
• Sobolev 포함과 $W^{2,n/2}$ 수렴을 적용하여 등각 인자와 곡률 노름을 통제하기 위해.
• 토러스 위에서 $e^{2f_\ell} = 1 - \frac{1}{2}\cos(\ell x_1)$ 형태의 진동하는 등각 인자를 사용한 반례를 구성하여, Gromov-Hausdorff 극한이 리만 계량이 아닐 수 있음을 보여주기 위해.
• 안정된 노름과 스케일링 추론을 사용하여 Gromov-Hausdorff 극한이 주기적인 리만 계량과 관련된 펄스러운 계량임을 식별하기 위해.
• Gromov-Hausdorff 극한 거리 $d_\infty$와 등각 인자들의 점별 극한에 의해 유도되는 거리 $d_{f_\infty}$를 비교하기 위해.
• $A_\infty$-가중치 성질을 통해 극한 거리와 원래 계량 사이의 이중- Hölder 동치성을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일한 $L^{n/2}$ 스칼라 곡률과 체적 조건 하에서 등각 계량 수열이 Gromov-Hausdorff 위상에서 전compact한가?
• RQ2 Gromov-Hausdorff 극한 거리가 극한 등각 인자에 의해 유도된 거리로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $A_\infty$-가중치 구조는 극한 측도와 계량에 대해 어떤 기하적·해석적 통제를 제공하는가?
• RQ4 진동하는 등각 인자는 거리와 체적 측도의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 등각 인자들이 약하게 수렴하더라도, Gromov-Hausdorff 극한이 리만 계량이 되지 않을 수 있는 경우는 언제인가?

주요 결과

• 균일한 체적과 $L^{n/2}$ 스칼라 곡률 유계 조건을 만족하는 등각 계량 수열은 Gromov-Hausdorff 위상에서 전compact하다.
• 극한 계량 공간은 원래 계량과 이중-Hölder 동치이며, 이는 위상적 안정성을 보장한다.
• 리만 체적 측도는 약한-* 수렴을 통해 극한 측도로 수렴하며, 이 극한 측도는 원래 측도에 대해 강한 $A_\infty$-가중치이다.
• Gromov-Hausdorff 극한 거리 $d_\infty$는 등각 인자들의 점별 극한에 의해 유도되는 거리 $d_{f_\infty}$와 일치하지 않을 수 있다.
• 진동하는 등각 인자 $e^{2f_\ell} = 1 - \frac{1}{2}\cos(\ell x_1)$를 가진 반례는 Gromov-Hausdorff 극한이 펄스러운 비리만 계량임을 보여주며, 등각 인자 극한은 유클리드 계량을 유도한다.
• 반례에서 $L^{n/2}$-노름의 스칼라 곡률은 유지되지만, 곡률 텐서의 $L^{n/2}$-노름은 발산한다. 이는 주요 컴팩트성 결과를 위해 곡률 유계 조건이 필수적임을 강조한다.