[논문 리뷰] A Joint Quantile and Expected Shortfall Regression Framework

Timo Dimitriadis, Sebastian Bayer|RePEc: Research Papers in Economics|2017. 04. 07.

Statistical Methods and Inference인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조건부 분위수와 기대 손실(ES)을 동시에 모델링하기 위해 엄격히 일致하는 손실 함수를 사용하는 새로운 통합 회귀 프레임워크를 제안한다. 이 방법은 전체 조건부 분포를 가정하지 않고도 M-추정과 Z-추정을 가능하게 하며, 약한 정규성 조건 하에서 일致성과 점근적 정규성을 확립한다. 수치적 안정성 때문에 M-추정이 선호된다.

ABSTRACT

We introduce a novel regression framework which simultaneously models the quantile and the Expected Shortfall (ES) of a response variable given a set of covariates. This regression is based on a strictly consistent loss function for the pair quantile and ES, which allows for M- and Z-estimation of the joint regression parameters. We show consistency and asymptotic normality for both estimators under weak regularity conditions. The underlying loss function depends on two specification functions, whose choice affects the properties of the resulting estimators. We find that the Z-estimator is numerically unstable and thus, we rely on M-estimation of the model parameters. Extensive simulations verify the asymptotic properties and analyze the small sample behavior of the M-estimator for different specification functions. This joint regression framework allows for various applications including estimating, forecasting, and backtesting ES, which is particularly relevant in light of the recent introduction of ES into the Basel Accords.

연구 동기 및 목표

• 베를린 III에서 요구하는 기대 손실(ES)에 대한 직접적인 회귀 프레임워크가 부족한 문제를 해결한다.
• ES의 비추출 가능성(non-elicitability)을 극복하기 위해 이중 손실 함수를 통해 VaR와의 동시 추출 가능성(joint elicitability)을 활용한다.
• 공변수를 사용하여 α-분위수와 ES를 동시에 추정하는 반모수적 회귀 모델을 개발한다.
• 약한 정규성 조건 하에서 M-추정사와 Z-추정사의 일치성과 점근적 정규성이라는 이론적 성질을 확립한다.
• 손실 함수 내의 사양 함수(specification functions)가 추정사의 효율성, 수치적 안정성, 계산 성능에 미치는 영향을 조사한다.

제안 방법

• Fissler과 Ziegel(2016)가 제안한 (분위수, ES) 쌍에 대한 엄격히 일치하는 손실 함수를 활용하여 진짜 매개변수가 기대 손실을 최소화함을 보장한다.
• 전체 분포 가정 없이도 M-추정과 Z-추정을 통해 통합 회귀 매개변수를 추정한다.
• Z-추정사의 추정 방정식을 유도하고, 통합 손실 함수 기반의 M-추정의 목적 함수를 설정한다.
• 손실 함수 내의 사양 함수가 추정사의 점근적 분산과 수치적 행동에 영향을 미친다.
• 다양한 사양 선택에 따른 표본 크기가 유한한 경우의 성능을 평가하기 위해 시뮬레이션을 실시한다. 이는 편향, 분산, 계산 시간을 포함한다.
• M-추정이 수치적으로 안정함을 입증하였고, Z-추정은 불안정성을 보이며 실무 적용에 부적합함을 확인하여 실무에서는 M-추정을 권장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공변수를 사용하여 조건부 분위수와 기대 손실을 동시에 모델링할 수 있는 통합 회귀 프레임워크를 구축할 수 있는가?
• RQ2 (분위수, ES) 쌍에 대한 엄격히 일치하는 손실 함수를 사용할 경우, 전체 조건부 분포를 가정하지 않고도 유효한 M-추정과 Z-추정이 가능한가?
• RQ3 손실 함수 내의 사양 함수의 다양한 선택이 추정사의 점근적 분산, 모멘트 조건, 수치적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다양한 설계 설정 하에서 통합 분위수-ES 모델의 유한 표본 성질은 무엇인가?
• RQ5 Z-추정의 수치적 불안정성으로 인해 실무에서는 M-추정이 Z-추정보다 더 바람직한가?

주요 결과

• 제안된 통합 회귀 프레임워크는 전체 조건부 분포를 가정하지 않고도 공변수를 사용하여 분위수와 ES를 반모수적으로 추정할 수 있는 최초의 방법이다.
• 약한 정규성 조건 하에서 M-추정사와 Z-추정사 모두 일치성과 점근적 정규성을 확보하여 이론적 기반을 검증한다.
• 실무에서 Z-추정사는 수치적 불안정성을 보이며, 이는 이론적 타당성에도 불구하고 실제 구현에 부적합함을 의미한다.
• 수치적 안정성과 안정적인 수렴 행동으로 인해 M-추정이 실무에서 권장된다.
• 손실 함수 내의 사양 함수 선택은 점근적 분산과 필요한 모멘트 조건에 영향을 미치지만, 추정사의 일치성과 점근적 정규성에는 영향을 주지 않는다.
• 시뮬레이션 결과 M-추정사가 낮은 편향과 명목 수준에 가까운 신뢰구간을 확보하며 양호한 유한 표본 성능을 보임을 확인하였다.