[논문 리뷰] A Korn-Poincaré-type inequality for special functions of bounded deformation

Manuel Friedrich|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 23.

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한 줄 요약

이 논문은 평면적 설정에서 SBD² 함수에 대해 Korn-Poincaré 유형 부등식을 수립한다. 이는 변위장의 일부를 작은 직사각형들의 합집합에서 수정하여, 무한소 강체 운동으로부터의 거리를 통제함으로써 이루어진다. 주요 결과는 이 거리를 탄성 에너지와 표면 에너지의 관점에서 유계로 제어함으로써, 변량 파손 모델에서 컴팩턴스 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a Korn-Poincaré-type inequality in a planar setting which is in the spirit of the Poincaré inequality in SBV due to De Giorgi, Carriero, Leaci. We show that for each function in SBD$^2$ one can find a modification which differs from the original displacement field only on a small set such that the distance of the modification from a suitable infinitesimal rigid motion can be controlled by an appropriate combination of the elastic and the surface energy. In particular, the result can be used to obtain compactness estimates for functions of bounded deformation.

연구 동기 및 목표

• 유한 변형도 함수(BD)의 도함수의 반대칭 부분에 대한 통제 부족이 변량 파손 모델에서 컴팩턴스를 방해하므로 이를 해결하기 위해.
• 기본적인 Korn-Poincaré 부등식이 Griffith 유형 에너지 함수와 호환되는 방식으로 절곡 높이를 통제하지 못하는 한계를 극복하기 위해.
• 소수의 직사각형 집합에서만 다를 뿐인 수정된 변위장이 탄성 에너지와 표면 에너지에 의해 L² 노름으로 통제될 수 있음을 보이기 위해.
• ∫|e(u)|²dx + H¹(Jᵤ) 에너지 함수에 대한 양적 추정을 통해, 무한소 강체 운동으로부터의 거리가 SBD²에서 컴팩턴스에 핵심적인 역할을 함을 확립하기 위해.
• 점프 집합과 변위장의 에너지 제어 수정을 통해 기하학적으로 선형 파손 모델에서 컴팩턴스 결과를 유도하는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 점프 집합을 덮는 유한한 수의 평행 직사각형들의 합집합에서만 변위장을 수정하는 절차를 도입하며, 총 직경이 에너지 항목에 의해 제어되도록 한다.
• 다양한 방향(예: 수직 및 대각선)에서의 절단 추론을 사용하여 경계의 추적을 추정하고, 경계에서의 변위의 L² 노름을 통제한다.
• 횔더 부등식과 이산 제논 유형 추정을 적용하여 절편 기여를 변형률의 L² 노름과 총 절편 길이의 관점에서 유계로 제어한다.
• 경계 성분 주변에 영역(직사각형 및 12각형)을 구성하여, 특히 작은 또는 투영 비율이 낮은 성분에 대해 추적 추정을 통제한다.
• 작은 경계 성분을 식별하고 수정하기 위한 재귀 알고리즘을 활용하여, 수정 집합의 총 측도가 작게 유지되도록 보장한다.
• 에너지 유계와 추적 추정을 결합하여 최종적으로 Korn-Poincaré 유형 부등식 (1.4)를 유도하며, 수정된 함수가 L²에서 무한소 강체 운동에 가까워짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SBD² 함수가 무한소 강체 운동으로부터의 거리가 탄성 에너지와 표면 에너지의 조합에 의해, 소수의 예외 집합을 제외하고 통제될 수 있는가?
• RQ2 SBD² 함수를 소수의 직사각형 집합에서 수정함으로써, 수정된 함수가 L²에서 강체 운동에 가까워지고 에너지 유계를 유지할 수 있는가?
• RQ3 작은 투영 또는 작은 성분을 가진 경계에서의 추적 추정을 어떻게 통제하여 전역적인 L² 유계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 평면적 SBD² 함수에서 L² 거리가 탄성 에너지와 총 절편 길이에 대해 정량적으로 어떻게 의존하는가?
• RQ5 도함수의 반대칭 부분에 대한 통제 부족에도 불구하고, ∫|e(u)|²dx + H¹(Jᵤ) 에너지 함수와 호환되는 SBD²에서 Korn-Poincaré 유형 부등식을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 ε > 0 과 θ > 0 에 대해, 상수 C(θ) 가 존재하여 변위장을 직사각형 집합 E 에서 수정할 수 있으며, 총 직경이 (1+θ)(H¹(Jᵤ) + ε⁻¹‖e(u)‖²_{L²}) 로 제어된다.
• 수정 집합 E 의 측도는 |E| ≤ ∑(diam(Rⱼ))² 를 만족하여, 에너지 항목에 비례하여 측도가 작게 유지됨을 보장한다.
• 수정된 함수 u − (A· + b) 는 축소된 정사각형 ̃Q 에서 Cμ²(‖e(u)‖²_{L²} + εH¹(Jᵤ)) 의 L² 노름으로 유계이므로, 에너지 함수에 의해 통제됨을 보여준다.
• ε = ‖e(u)‖²_{L²}/H¹(Jᵤ) 로 선택함으로써, 무한소 강체 운동으로부터의 L² 거리는 에너지 함수에 의해 통제되며, Korn-Poincaré 유형 부등식을 도출한다.
• 결과적으로, 그리피스 에너지 함수에 대한 균일한 유계가 존재하면, 소수의 수정을 거쳐 컴팩턴스가 보장되며, 이는 SBD²에서 컴팩턴스 추정을 도출하는 데 유용하다.
• 표준 Korn 부등식이 절편 높이가 통제되지 않아 실패할 수 있는 상황에서도, 이 방법은 균열 근처에서 SBD² 함수의 행동을 소수의 집합만 수정함으로써 성공적으로 통제한다.