[논문 리뷰] A Kronecker limit type formula for elliptic Eisenstein series

Anna-Maria von Pippich|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 일반적인 제1종 푸크스군에 대해 타원 Eisenstein 급수의 유리형 해석적 계속성을 확립하고, 그의 극과 잔여물을 계산하며, Kronecker 한계 유형의 공식을 도출한다. 스펙트럼 이론과 자동형 Green 함수와의 관계를 이용하여 $ s = 0 $에서의 로렌트 전개를 증명하고, $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $의 경우 한정 함수를 정칙 모듈라 형식으로 표현한다.

ABSTRACT

Let $Γ\subset\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{R})$ be a Fuchsian subgroup of the first kind acting by fractional linear transformations on the upper half-plane $\mathbb{H}$, and let $M=Γ\backslash\mathbb{H}$ be the associated finite volume hyperbolic Riemann surface. Associated to any cusp of $M$, there is the classically studied non-holomorphic (parabolic) Eisenstein series. In 1979, Kudla and Millson studied non-holomorphic (hyperbolic) Eisenstein series associated to any closed geodesic on $Γ\backslash\mathbb{H}$. In 2004, Jorgenson and Kramer introduced so-called elliptic Eisenstein series associated to any elliptic fixed point of $M$. In the present article, we prove the meromorphic continuation of the elliptic Eisenstein series and we explicitly compute its poles and residues. Further, we derive a Kronecker limit type formula for elliptic Eisenstein series for general $Γ$. Finally, for the full modular group $\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{Z})$, we give an explicit formula for the Kronecker's limit functions in terms of holomorphic modular forms.

연구 동기 및 목표

• 임의의 제1종 푸크스 부분군 $ \Gamma $에 대해 전체 복소 $ s $-평면으로의 타원 Eisenstein 급수 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $의 유리형 해석적 계속성을 확립하는 것.
• 타원 Eisenstein 급수 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $의 극과 잔여물을 명시적으로 계산하는 것.
• 기본적인 Kronecker 한계 공식과 유사한 타원 Eisenstein 급수에 대한 Kronecker 한계 유형 공식을 도출하는 것.
• 완전 모듈라 군 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $에 대해 Kronecker 한계 함수를 정칙 모듈라 형식의 표현으로 명시적으로 기술하는 것.

제안 방법

• 타원 Eisenstein 급수를 분석하기 위해, $ M = \Gamma \backslash \mathbb{H} $인 하이퍼볼릭 리만 표면에서 스펙트럼 이론을 활용한다.
• 타원 Poincaré 급수와의 관계를 설정하여, $ M $에서 제곱-integrable인 타원 Eisenstein 급수의 스펙트럼 전개를 통해 유리형 해석적 계속성을 확립한다.
• 자기적 Green 함수 $ G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $를 사용하고, 초함수 함수와 쌍곡 거리와의 관계를 통해 그와 타원 Eisenstein 급수를 연결하는 핵심 항등식을 유도한다.
• Gamma 함수의 반복 공식을 적용하고, 초함수 항등식 $ F(s,s;2s;z) = (1 - z/2)^{-s} F(s/2, (s+1)/2; s+1/2; z^2/(2-z)^2) $를 사용하여 Green 함수를 $ \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $로 표현한다.
• 형태 $ \mathcal{G}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = \frac{2^s}{4\pi} \frac{\Gamma(s)^2}{\Gamma(2s)} \sum_{k=0}^\infty \frac{(s/2)_k (s/2 + 1/2)_k}{k! (s + 1/2)_k} P^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z, s + 2k) $의 스펙트럼 전개를 유도하여 Green 함수와 Eisenstein 급수를 연결한다.
• 로렌트 전개 분석을 위해 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) - \frac{2^{s+1}\sqrt{\pi} \Gamma(s+1/2)}{\Gamma(s)} G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(s/2)_k a_k(s)}{k!} P^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z, s + 2k) $의 관계를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 제1종 푸크스 부분군 $ \Gamma $에 대해 타원 Eisenstein 급수 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $의 유리형 해석적 계속성은 무엇인가요?
• RQ2 타원 Eisenstein 급수 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $의 극의 위치와 잔여물은 무엇인가요?
• RQ3 기본적인 파라볼릭 Eisenstein 급수의 Kronecker 한계 공식과 유사한 타원 Eisenstein 급수에 대한 Kronecker 한계 유형 공식을 유도할 수 있는가요?
• RQ4 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $의 경우, Kronecker 한계 함수를 정칙 모듈라 형식의 표현으로 명시적으로 기술할 수 있는가요?

주요 결과

• 타원 Eisenstein 급수 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $는 전체 복소 $ s $-평면으로의 유리형 해석적 계속성을 갖는다.
• 타원 Eisenstein 급수 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $의 극은 명시적으로 결정되었고, 스펙트럼 방법을 통해 잔여물이 계산되었다.
• Kronecker 한계 유형 공식이 확립되었으며, $ s = 0 $에서 로렌트 전개는 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) - \frac{2^{s+1}\sqrt{\pi} \Gamma(s+1/2)}{\Gamma(s)} G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = O(s^2) $를 만족하여 $ s = 0 $에서 해석적임을 나타낸다.
• $ \Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $의 경우, Kronecker 한계 함수는 정칙 모듈라 형식의 표현으로 기술되었으며, 로렌트 전개의 상수항에 대한 명시적 공식을 제공한다.
• 타원 Eisenstein 급수와 자동형 Green 함수 사이의 관계는 초함수 급수와 쌍곡 거리를 통해 확립되었고, $ \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $를 포함하는 스펙트럼 전개를 유도한다.
• 증명은 항등식 $ g_s(z,w) = \frac{2^s}{4\pi} \frac{\Gamma(s)^2}{\Gamma(2s)} \sum_{k=0}^\infty \frac{(s/2)_k (s/2 + 1/2)_k}{k! (s + 1/2)_k} \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $에 의존하며, 이는 Green 함수와 Eisenstein 급수를 연결한다.